Dichtefunktion - Standardabweichung, Erwartungswert, kumulative Verteilungsfunktion

Question

Aufgabe:

Betrachtet wird die Funktion \( f(x)=\frac{1}{\pi\left(x^{2}+1\right)} \) filr \( x \in R \)
(a) Ist \( f(x) \) eine Dichtefunktion? Skizze!
(b) Wie lautet die kumulative Verteilungsfunktion \( F(x) ? \) Skizze!
(c) Welchen Erwartungswert hat die Verteilung?
(d) Welche Standardabweichung hat sie?

Ich habe keine Ahnung, wie ich anfangen soll, da ich sonst immer eine Dichtefunktion durch Grenzen, die gegeben waren, bestimmt habe. Würde mich über Lösungswege zu der gesamten aufgabe freuen.

Ps. Skizzen sind nicht unbedingt notwendig.

Answer 1

a)

Aus Wikipedia:

Jede Funktion f : R → R , für die gilt:

f ( x ) ≥ 0 für alle x ∈ R und ∫_-∞^∞ f ( x ) dx = 1

ist die Dichtefunktion einer eindeutig bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung.

 

Für die gegebene Funktion f ( x ) = 1 / ( π * ( x ² + 1 ) )  ist also zu zeigen:

1) f ( x ) ≥ 0 für alle x ∈ R

2) ∫_-∞^∞ f ( x ) dx = 1

 

Zu 1)

1 / ( π * ( x ² + 1 ) ) ≥ 0

Aus x ² ≥ 0 für alle x ∈ R und π > 0 folgt: π * ( x ² + 1 ) ≥ 0 für alle x ∈ R

Der Nenner ist also nichtnegativ für alle x ∈ R und damit ist auch der gesamte Bruch nichtnegativ für alle x ∈ R

q.e.d.

 

zu 2)

∫_-∞^∞ 1 / ( π * ( x ² + 1 ) ) dx

= ( 1 / π ) * ∫_-∞^∞ 1 / ( x ² + 1 ) dx

[Da f ( x ) gilt achsensymmetrisch ist ( f ( x ) = f ( - x ) für alle x ∈ R ) gilt:]

= ( 1 / π ) * 2 * ∫₀^∞ 1 / ( x ² + 1 ) dx

[Im Falle der Konvergenz ist dieses Integral definiert durch:]

( 2 / π ) * lim _{a →∞} ∫₀^a 1 / ( x ² + 1 ) dx

[Das Integral ist ein Grundintegral, welches man einer Integralsammlung entnehmen kann. Es gilt:]

= ( 2  / π ) *  lim _{a →∞} [ arctan ( a ) - arctan ( 0 ) ]

= ( 2 / π ) * ( ( π / 2 ) - 0 )

= 1

q.e.d.

f ( x ) ist also eine Dichtefunktion

 

b)

F ( x ) = ∫_-∞^x 1 / ( π * ( x ² + 1 ) ) dt

= ( 1 / π ) * lim _{a → - ∞} ∫_a^x 1 / ( x ² + 1 ) dt

= ( 1 / π ) * lim _{a → - ∞} [ arctan ( x ) -  arctan ( a ) ]

= ( 1 / π ) arctan ( x )

 

c)

Allgemein: E ( X ) = ∫_-∞^∞ x * f ( x ) dx

Vorliegend:

E ( X ) = ∫_-∞^∞ x * 1 / ( π * ( x ² + 1 ) ) dx

 = ( 1 / π ) * ∫_-∞^∞ x / ( x ² + 1 ) dx

Die Funktion x / ( x ² + 1) ist punktsymmetrisch zum Ursprung ( f ( x ) = - f ( - x ) ), daher hat das Integral und somit auch der Erwartungswert den Wert Null, also:]

= 0

 

d)

Allgemein: σ ² = Var ( X ) = ∫_-∞^∞ ( x - E ( X ) ) ² * f ( x ) dx

Vorliegend:

σ ² =  ∫_-∞^∞ ( x - 0 ) ² * 1 / ( π * ( x ² + 1 ) ) dx

= ( 1 / π ) * ∫_-∞^∞ x ² /  ( x ² + 1 ) dx

[Polynomdivision ergibt: x ² / ( x ² + 1 ) = 1 - 1 / ( x ² + 1 ) , also:

= ( 1 / π ) * ∫_-∞^∞ 1 - 1 / ( x ² + 1 ) dx

= ( 1 / π ) * ( ∫_-∞^∞ 1 dx - ∫_-∞^∞ 1 / ( x ² + 1 ) dx )

 

= ( 1 / π ) * ( lim _{a → ∞} ( ∫_-a^a 1 dx - ∫_-a^a 1 / ( x ² + 1 ) dx )

= ( 1 / π ) * ( lim _{a → ∞} [ a - ( - a ) ] - lim _{a → ∞} [ arctan ( a ) - arctan ( - a ) ] )

= ( 1 / π ) * [ ∞ - π ]

= ∞

Die Varianz und damit auch die Standardabweichung der Verteilung F ( x ) sind also unendlich.