Binomialkoeffizient. Zeigen, dass ∑ (k=0 bis n) ((2n+1) über k)=2^2n

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Hallo,  wie kann ich folgende Summe umschreiben?

Ich soll per Induktion zeigen ∑ (k=0 bis n) ((2n+1) über k)=22n

Ich habe schon den Induktionsanfang gemacht und bin jetzt beim Induktionsschritt.


∑ (k=0 bis n+1) ((2(n+1)+1)über k)= ∑ (k=0 bis n) (2n+1 über k) +((2(n+1)+1) über k)

Ich weiß, dass ∑ (k=0 bis n) (2n+1 über k)=22n ist. Allerdings weiß ich jetzt nicht mehr weiter.

Gefragt 9 Nov von Alberto

EDIT: Achtung du hattest ein n zu viel in der Überschrift. Es heisst Binomialkoeffizient. Habe das korrigiert. 

1 Antwort

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An dem Startausdruck \(\sum_{k=0}^{n+1}{2n+3\choose k}\) fuer den Induktionsschritt stoert irgendwie die \(2n+3\) im Binomialkoeffizienten oben, oder? Baue das mit dem Bildungsgesetz der Binomialkoeffizienten in zwei Schritten zurueck, so dass da nur noch Binomialkoeffizienten mit \(2n+1\) oben stehen.

Beantwortet 9 Nov von Fakename 3,9 k

Summiere die ganze Zeile durch, das ergibt 2^(2n+1), nutze die Symmetrie : die halbe Zeile hat die halbe Summe.

Kommt jetzt drauf an, ob es zwingend eine Induktion werden soll, oder ob ein direkter Beweis auch geht. "Ich soll per Induktion zeigen" steht in der Frage.

Ich muss das schon mit Induktion machen. Wie macht man das dann?

Ein Weg ist in der Antwort skizziert. Wenn Dir nichts Besseres einfaellt, kannst Du ihn beschreiten.

Ja ich habe verstanden dass ich das ganze irgendwie auf die Form 2n+1 bringen muss. Nur weiß ich diese Umformung nicht. Dafür benutze ich doch folgende Formel oder?
(n über k)+(n über (k+1)=((n+1)über (k+1)). Aber ich weiß leider nicht weiter

Und von was ist -- nach eben gerade dieser Formel -- \(2n+3\choose k\) die Summe?

von ((2n+2) über k)+((2n+2) über (k-1))?

Ja. Und jetzt halt noch mal.

Okay das habe ich nun versucht. Ich erhalte dann insgesamt:

∑(von k=0 bis n) (((2n+1)über k)+((2n+1)über (k-1)))+ Summe (k=0 bis n) (((2n+1) über (k-1))+((2n+1)über (k-2)))+((2n+3) über (n+1)).

Das habe ich nun vereinfacht zu

22n+2∑(k=0 bis n) ((2n+1) über (k-1)) + ∑ (k=0 bis n) ((2n+1) über (k-2))+ ((2n+3) über (n+1))

Stimmt das dann so? Weil wenn ich das weiter vereinfache komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Irgendwo muss ein Fehler sein

k geht von 0 bis n+1. Und dann musst Du eben eine Indexverschiebung machen, so dass in den Binomialkoeffizienten unten immer k steht. Mit Induktionsvoraussetzung kommt fuer die Summen zweimal 4n raus, einmal 4n - etwas, und einmal 4n + etwas. Insgesamt 4 · 4n = 4n+1 wie gewuenscht.

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