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Ist f(x)=x3+x Injektiv , Surjektiv oder Beides?

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f(x)=X3+X ist beides.

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Injektiv heißt, dass zu jedem y = f(x) eindeutig nur ein x existiert.

Schauen wir uns das hier einmal an:

Nehme ich also f(a)= f(b) und kann zeigen, dass dies nur der Fall ist, wenn a=b ist, dann ist die Funktion injektiv.

Einsetzen ergibt:

a^3+a = b^3 +b

Betrachte nun a<b bzw a>b. Was lässt sich nun über die jeweiligen Seiten aussagen?


Surjektivität:

Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Bild ein Urbild existiert.

Ich denke mal hier reicht als Begründung, dass die Funktion aus streng monoton steigenden Funktionen besteht und dessen Grenzwerte gegen +/- unendlich laufen.Damit hätte man ganz R abgedeckt.

Beantwortet von 8,3 k

Stetigkeit ist vielleicht auch noch notwendig.

das heißt, die folgende ist nur Injektiv, wenn a=b

Z.B wenn f(x)=2X+1 => f)a)=f(b) => 2a+1=2b+1 => 2a=2b => a=b => immer Injektiv.

dann was muss man in dem ersten Fall schreiben? Injektiv oder nicht

Den oberen Fall musst du noch weiter führen. Ich habe dir nur den Ansatz gezeigt.

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Ist f(x)=x3+x injektiv, surjektiv oder beides?
[Anmerkung: Rechtschreibung korrigiert.]

Ich gehe davon aus, dass hier
$$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ mit }x\mapsto f(x) $$vorauszusetzen ist. In diesem Falle ist \(f\) surjektiv, da alle ganzrationalen Funktionen mit ungeradem Grad surjektiv sind (vgl. "Ganzrationale Funktionen", 10. Schuljahr).

Weiter ist \(f\) auch injektiv, da sowohl der Leitkoeffizient (+1) als auch die Steigung der Wendetangente (auch +1) dasselbe Vorzeichen (hier: +) aufweisen und \(f\) daher streng monoton ist.

Insgesamt ist \(f\) damit bijektiv, also sowohl surjektiv als auch injektiv.

Beantwortet von 13 k

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