Intervalle und Radius bestimmen bei einem Graphen.

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Hey, kann mir jemand dabei helfen? Danke schon mal

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Gefragt vor 6 Tagen von gastek

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Hallo gastek,

Setze die Polarkoordinaten in die Bedingung der Menge ein. Es ist

$$(x^2+y^2)^2 = y(3x^2 - y^2)$$

$$(r^2(t)\cos^2 t + r^2(t)\sin^2 t)^2 = r(t) \sin t (3 r^2(t) \cos^2 t - r^2(t) \sin^2 t)$$

$$r^4(t) = r^3(t) \sin t (3 \cos^2 t -  \sin^2 t) =r^3(t) \sin t (3 - 4\sin^2 t) \quad \text da \space \cos^2t = 1 - \sin^2 t $$

Aus \(\sin 3t = 3 \sin  t - 4 \sin^3 t\) folgt, dass \(\sin t(3- 4 \sin^2 t) = \sin 3t\) ist. Dies Einsetzen und nach Division durch \(r^3(t)\) erhält man

$$r(t) = \sin 3t$$

Und so sieht die Kurve aus $$M = \{\left(x(t),y(t)\right)^T \in \mathbb{R}^2, \space t \in [0 \space .. \space \frac{\pi}{3}]: \\ \quad x(t)=\sin 3t \cdot \cos t, \space y(t) = \sin 3t \cdot \sin t\}$$

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Bleiben noch die Intervalle \(t \in [\frac23\pi \space .. \space \pi]\) und \(t \in [\frac43 \pi \space .. \space \frac53 \pi ]\) zu betrachten. Das sollte jetzt kein Problem mehr sein - oder?

Beantwortet vor 6 Tagen von Werner-Salomon Experte VI

Interessant in diesem Zusammenhang ist auch der Spirograph. Das war mal das Spielzeug des Jahres 1967.

Ich verstehe nicht was bzw wie ich die anderen Intervalle bestimmen soll

Eine Bedingung lautet, dass \(r(t)\ge 0\) sein soll. Die Periode der gesamten Figur ist \(2\pi\) - danach wiederholen sich alle Koordinaten. Innerhalb dieses Bereichs von \([0\space .. 2\pi\space )\) ist der Term \(r(t)=\sin 3t\) nur in den drei oben angegebenen Intervallen positiv.

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