0 Daumen
2,1k Aufrufe

Wie löse ich die Gleichung z4 =  -1 ? Die form ist z= x + yi

Ich habe an das hier gedacht:

(x+yi2)2= -1

(x2+y2+2ixy)2=-1

so. jetzt weiss ich nicht mehr wie ich das löse bzw ob das überhaupt richtig so ist.

von

Hier hast du dich wohl vertan:

(x+yi2)2= -1

(x2+y2+2ixy)2=-1

sollte vermutlich

((x+yi)2)2= -1

(x2 - y2+2ixy)2= -1 

sein.

Kann sein, dass es dir einfacher vorkommt. Mit Hilfe der Theorie zu "Wurzeln aus komplexen Zahlen" kommst du unabhängig von solchen Algebrafehlern und bei beliebigen Hochzahlen rasch zum Ziel.

2 Antworten

+2 Daumen

Hallo hss,

hier eine allgemeine Vorgehensweise:

         (bei dir ist n = 4 , a = -1 und b=0 (also w = -4 und  |w| = r = 4)

 Lösung der komplexen Gleichung  zn = w     [ n   , n ≥ 2 ]

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · ei ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φw  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:

r = √(a2 +b2)  und  φw = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

                                        [ Bei dir φw = π ]

Die n Werte zk  für z = n√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    zk = n√r · [ (cos( (φw + k · 2π) / n ) + i · sin( (φw + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  zk =  n√r · ei·(φw+k·2π)/n ]

Kontrolllösungen:

z = - √2/2 - √2·i/2  ∨  z = - √2/2 + √2·i/2  ∨  z = √2/2 - √2·i/2  ∨  z = √2/2 + √2·i/2

Gruß Wolfgang

von 80 k

Das wäre doch die Allgemeine Vorgehensweise. Oder ist dies egal ? Ich muss es durch die Form die oben angegeben ist

Ja, die Formel gilt allgemein, also auch bei deiner Gleichung.

würde das nicht einfacher gehen zb durch das Einsetzen der Form so wie ich es gemacht habe ?

Es gibt verschiedene Wege. Da es sich bei z4 = - 4 rechts um eine reelle Zahl handelt, ist meine Beschreibung umfangreicher, als es nötig wäre. Dafür kannst du sie z.B. auch für  z4 = -4 + 5i  o.Ä  anwenden.

+1 Punkt

du kannst das auch versuchen mithilfe einer Faktorisierung  lösen:

$$ z^4=-1\\z^4+1=0\\(z^2+i)(z^2-i)=0\\(z+\sqrt{-i})(z-\sqrt{-i})(z+\sqrt{i})(z-\sqrt{i})=0\\ $$

Nun bleibt nur noch ±√(±i) zu bestimmen.

Ich zeige dir mal zwei Möglichkeiten für √i :

a) mithilfe der Expoenentialform:

$$ i=e^{i\pi/2}\\\sqrt{i}=e^{i\pi/4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\\ $$

b) mithilfe von Koeffizientenvergleich:

$$ \sqrt{i}=x+iy\\i=(x+iy)^2\\i=x^2-y^2+i2xy\\-->\\x^2-y^2=0\\2xy=1\\4x^2y^2=1\\x^4=1/4\\x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\ $$

Hier erhält man zwei Lösungen die sich um ihr Vorzeichen unterschieden, da das beim Quadrieren wegfällt. Als Wurzel wählt man der Konvention nach die Lösung mit positiven Realteil. Zur Bestimmung der Nullstellen macht es aber sowieso keinen Unterschied, da die Linearfaktoren paarweise auftreten , einmal mit + und einmal mit - vor √i .

√(-i) ist damit auch klar:

√(-i)=√(-1)*√(i)=...

von 31 k

Der erste Teil macht Sinn (mit dem Koeffizientenvergleich), dennoch weiß ich nicht wie ich jetzt mit √-i rechnen soll. Oder wie ich darauf überhaupt komm. :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...