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Zeigen Sie, dass es eine komplexe Zahl ω ∈ C mit ω 2 = −3 gibt. Es sei nun K = {a + b ω | a, b ∈ Q} ⊆ C

Mein Lösungweg:

w2=(a+bw)2=-3

a2+2abw+b2*w2=-3

b2=1

b=+-1

a2+2abw=0

a=0

w2=-3 existiert mit a,b element Q.

Also ich bin gerade ein bisschen verwirrt wegen K = {a + b ω | a, b ∈ Q} ⊆ C... ist bw der Imaginärteil für die komplexe Zahl? wenn das gilt, dann muss ich bei der Umformung von (a+bw)2 was ändern. Kann jmd. mir zuerst sagen, ob mein Lösungsweg richtig ist oder muss ich mit (a+bw)2=a2-b2+2abw am Anfang weiter rechnen.

MfG

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Hi Justin,

Du schreibst: "Zeigen Sie, dass es eine komplexe Zahl ωC\omega \in \mathbb{C} mit ω2=3\omega^2 = -3 gibt."

Ok - soweit klar; aber jetzt:

"Es sei nun K={a+bωa,bQ}CK = \{ a + b\omega \mid a, b \in \mathbb{Q} \} \subseteq \mathbb{C} "

das braucht es nicht mehr, um obiges zu zeigen. Und was ist C\mathbb{C}? Klar ist, dass ω=i3\omega = i\sqrt{3} ist - aber fehlt da nicht ein Teil der Aufgabe?

Das ist schon die komplette Aufgabenstellung..

Bild Mathematik

Hier ist das Bild von der Aufgabe

Ok - dann verstehe ich nicht, was das soll. Aber Dein Lösungsweg ist auf jeden Fall nicht falsch.

Zu Deiner konkreten Frage: ω\omega ist definiert als ω2=3\omega^2= -3. Man kann Zahlen bzw. komplexe Zahlen auch als a+bi3a + b \cdot i\sqrt{3} schreiben; mit a,bQa,b \in \mathbb{Q}. Und wenn eine dieser Zahlen wieder ω\omega selbst sein soll, so hast Du das richtig mit a=0a=0 und b=±1b=\pm1 berechnet.

Gruß Werner

"Hier ist das Bild von der Aufgabe"  - steht da noch irgendwas vor  oder nach der Aufgabe was Auskunft zu KK oder C\mathbb{C} gibt?

K hat mit dieser Aufgabe a) gar nichts zu tun, sondern ist eine Vordefinition für eine nächste Teilaufgabe.

Also schreib ich einfach hin w=iwurzel3? Das mit dem Körper hat mich mega verwirrt

Ja klar, oder auch ω=-i√3 ;)

Was mit dem K angestellt werden soll steht bestimmt weiter unten.

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Also schreib ich einfach hin w=iwurzel3?    Genau !

Und das K soll dann ja wohl ein Teilkörper von C sein.

Vermutlich sollst du das im nächsten Teil beweisen.

Avatar von 289 k 🚀

Ja also beim teilkörper bin ich mir nicht so sicher. Ich muss da zeigen dass K eine untergruppe mit +und* von C ist. Und außerdem?

Gruß Justin

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