komplexe Zahl zeigen, dass es eine komplexe Zahl ω ∈ C mit ω 2 = −3 gibt.

Question

Zeigen Sie, dass es eine komplexe Zahl ω ∈ C mit ω ² = −3 gibt. Es sei nun K = {a + b ω | a, b ∈ Q} ⊆ C

Mein Lösungweg:

w²=(a+bw)²=-3

a²+2abw+b²*w²=-3

b²=1

b=+-1

a²+2abw=0

a=0

w²=-3 existiert mit a,b element Q.

Also ich bin gerade ein bisschen verwirrt wegen K = {a + b ω | a, b ∈ Q} ⊆ C... ist bw der Imaginärteil für die komplexe Zahl? wenn das gilt, dann muss ich bei der Umformung von (a+bw)² was ändern. Kann jmd. mir zuerst sagen, ob mein Lösungsweg richtig ist oder muss ich mit (a+bw)²=a²-b²+2abw am Anfang weiter rechnen.

MfG

Comments

Hi Justin,

Du schreibst: "Zeigen Sie, dass es eine komplexe Zahl $\omega \in \mathbb{C}$ mit $\omega^2 = -3$ gibt."

Ok - soweit klar; aber jetzt:

"Es sei nun $K = \{ a + b\omega \mid a, b \in \mathbb{Q} \} \subseteq \mathbb{C}$ "

das braucht es nicht mehr, um obiges zu zeigen. Und was ist $\mathbb{C}$? Klar ist, dass $\omega = i\sqrt{3}$ ist - aber fehlt da nicht ein Teil der Aufgabe?

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Das ist schon die komplette Aufgabenstellung..

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Hier ist das Bild von der Aufgabe

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Ok - dann verstehe ich nicht, was das soll. Aber Dein Lösungsweg ist auf jeden Fall nicht falsch.

Zu Deiner konkreten Frage: $\omega$ ist definiert als $\omega^2= -3$. Man kann Zahlen bzw. komplexe Zahlen auch als $a + b \cdot i\sqrt{3}$ schreiben; mit $a,b \in \mathbb{Q}$. Und wenn eine dieser Zahlen wieder $\omega$ selbst sein soll, so hast Du das richtig mit $a=0$ und $b=\pm1$ berechnet.

Gruß Werner

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"Hier ist das Bild von der Aufgabe"  - steht da noch irgendwas vor  oder nach der Aufgabe was Auskunft zu $K$ oder $\mathbb{C}$ gibt?

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K hat mit dieser Aufgabe a) gar nichts zu tun, sondern ist eine Vordefinition für eine nächste Teilaufgabe.

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Also schreib ich einfach hin w=iwurzel3? Das mit dem Körper hat mich mega verwirrt

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Ja klar, oder auch ω=-i√3 ;)

Was mit dem K angestellt werden soll steht bestimmt weiter unten.

Answer 1

Also schreib ich einfach hin w=iwurzel3?    Genau !

Und das K soll dann ja wohl ein Teilkörper von C sein.

Vermutlich sollst du das im nächsten Teil beweisen.

Comments

Ja also beim teilkörper bin ich mir nicht so sicher. Ich muss da zeigen dass K eine untergruppe mit +und* von C ist. Und außerdem?

Gruß Justin