Beweis der existenz des additiven Inversen sowie der Null

Question

ich muss das Addative Inverse sowie die existenz der Null der Menge:

M={n+k*sqrt(2) | n,k Element Z} wobei M Teilmenge von R ist.

Ich bin mir wieder einmal so unsicher wie ich dies beweisen soll. Und mit fällt auch wirklich nichts dazu ein, hat vielleicht jemand für solche Probleme eine Lösungsstrategie?

Answer 1

Hi,

wähle n=0 und k=0, dann ist 0 = 0+0√2 ∈M

Sei a+b√2 ∈ M, dann sind a, b ∈ ℤ, insb. -a, -b ∈ ℤ, also -a-b√2 ∈ M. Das dieses Element das additive Inverse ist kannst du jetzt in einem weiteren Schritt bestimmt selbst nachrechnen.

Grüße

Comments

Das schaut bei euch immer so easy peacy aus, ich bin im ersten Semester und bekomme das mach 3 Wochen Körpern Ringen etc immer noch nicht alleine hin:) traurig oder normal?

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Du hast erst ein halbes Semester hinter dir, ich denke da ist es noch normal. Mit den mathematischen Arbeitsweisen muss man sich erst vertraut machen. Solange du den Lösungsweg nachvollziehen und später selbst anwenden kannst, halte ich das für nicht weiter schlimm ;)

Ist

$$ M:=\lbrace a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{5}  ~| ~a,b,c,d \in \mathbb{Z} \rbrace \subseteq \mathbb{R} $$

eine additive Gruppe?

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Mmm, also es muss:

a) die Assoziativität der Addition gelten, also a+(b+c) = (a+b)+c    mit a,b,c∈G

b) ein neutrales Element existieren, also a+0 = 0+a = a und

c) ein Inverses Element  existieren wobei a+(-a) =0 gilt.

Nun habe ich wieder das Problem, die Theorie ist klar, aber wie man es anwendet ist das große Problem. Ich habe hier ja 4 Summanden für a) würde ich schreiben:

a+(b*sqrt(2) + c*sqrt(3) + d*sqrt(5)) =  (a+b*sqrt(2) + c*sqrt(3)) + d*sqrt(5)

mit a,b,c,d ∈G

b) Soll ich nun für jeden Summanden zeigen, dass ein neutrales Element existiert oder würde auch reichen, dass 0+c*sqrt(3) =c*sqrt(3)+0 = c*sqrt(3) ist?

c) Finde ich nun wieder sehr schwierig zu zeigen, wenn man es so sieht, dann müsste es inverses Element geben, denn a+(-a) =0 , b*sqrt(2) + (-b*sqrt(2)) = 0 etc.

Für mich könnte es so funktionieren, aber ob es mathematisch richtig ist, ist eine andere Sache.

Wüde das so stimmen? Wenigstens ein bissle?

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Schau dir meine Antwort oben nochmal genau an. Die Elemente von M haben die Form (a+b√2+c√3+d√5) mit ganzen Zahlen a,b,c,d. Das solltest Du natürlich im ganzen betrachten.

(Die Assoziativität bekommt man geschenkt, da die Addition der reellen Zahlen assoziativ ist.)

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Ok dann zu c=

Sei a + b*sqrt(2) + c*sqrt(3) + d*sqrt(5) ∈ M, dann sind a, b,c,d ∈ ℤ und daher auch
-a, -b,-c,-d ∈ ℤ, also -a +-b*sqrt(2) -c*sqrt(3) - d*sqrt(5) ∈ M.

Es folgt a + b*sqrt(2) + c*sqrt(3) + d*sqrt(5) + (-a +-b*sqrt(2) -c*sqrt(3) - d*sqrt(5)) = 0

So in etwa:()?

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Genau, damit hast du die Existenz eines Inversen Elements (wenn auch nur einseitig) gezeigt ;)

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Also dann

a + b*sqrt(2) + c*sqrt(3) + d*sqrt(5) + (-a +-b*sqrt(2) -c*sqrt(3) - d*sqrt(5)) = (-a +-b*sqrt(2) -c*sqrt(3) - d*sqrt(5) + a + b*sqrt(2) + c*sqrt(3) + d*sqrt(5)
für beide Seiten:)
Jutti ich bedanke mich bei dir:)