DGL mit Potenzreihen lösen y'=4xy, y(0)=1

0 Daumen
41 Aufrufe

y'=4xy, y(0)=1 ich muss es mit potenzreihen lösen ich weiß das formel für potenzreihen y und y' aber weiter kann ich nicht lösen

Gefragt vor 6 Tagen von Jonihu

Wer sagt, dass du das so machen musst? Die DGL sieht separierbar aus. 

Ja man kann sehr leicht finden aber angabe sagt das ich es mit potenzreichen machen soll :)

1 Antwort

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Hallo,

mit Potenzreihen:

$$ y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n *x^n} $$

Bestimme zu erstmal die Ableitung:

$$ y'=\sum_{n=1}^{\infty}{a_n *n*x^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1}*(n+1)*x^n} $$

Setze nun beides in die DGL ein:

$$ \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1}*(n+1)*x^n}=4x\sum_{n=0}^{\infty}{a_n *x^n}\\\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1}*(n+1)*x^n}=\sum_{n=0}^{\infty}{4a_n *x^{n+1}}\\ $$

Damit diese Gleichung stets erfüllt ist , müssen die Koeffizienten vor der jeweiligen Potenz von x auf beiden Seiten gleich sein. Auf der rechten Seite sind die Potenzen um eins verschoben, dort gibt es keinen Absolutterm. Daher ist

$$ a_1=0\\a_{n+2}*(n+2)=4a_n $$

Da a1=0 ist, sind alle Koeffizienten mit ungeraden Index ebenfalls gleich 0. 

Interessant sind also nur die geraden n. Setze daher n=2k mit k=0,1,2....

Schreibe etwas um:

$$a_{2k+2}*(2k+2)=4a_{2k}\\a_{2(k+1)}*2(k+1)=4a_{2k}\\a_{2(k+1)}(k+1)=2a_{2k}\\a_{2(k+1)}=\frac{2a_{2k}}{k+1}\\b_{k+1}=\frac{2b_k}{k+1} $$

Dies Rekursion wird durch die Folge

$$b_k=C*\frac{2^{k}}{k!},C\neq0 $$

erfüllt. Somit ergibt sich 

$$y=\sum_{k=0}^{\infty}{a_{2k}x^{2k}}=\sum_{k=0}^{\infty}{b_{k}x^{2k}}\\=\sum_{k=0}^{\infty}{C\frac{2^k}{k!}x^{2k}} $$

Mithilfe der AWB kann nun noch C bestimmt werden:

$$y(0)=C=1 $$

Dieses Ergebnis kannst du nun auch überprüfen, denn es ist $$\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k}{k!}x^{2k}} =e^{2x^2} $$

 

Beantwortet vor 6 Tagen von Gast jc2144 20 k

Ich habe alles verstanden auser wir haben wir a1 =0 gesagt und a_(n+2) *(n+2) = 4a_n

Gefunden und wo ist a_0

Noch mal a_1 =0 hab ich verstanden wie. Aber wie finden wir an+2 *(n+2) = 4a_n

Noch mal ich habe jetzt komplett verstanden nach ein paar versuche :) danke für deine Hilfe 

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by Matheretter
...