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Hallo. Ich brauche Hilfe mit meiner Aufgabe.


Es seien K ein Körper und A ∈ Kp×q eine Matrix von Rang r. Zeigen Sie:
(a) Es gibt Matrizen L ∈ GLp(K) und R ∈ GLq(K), so dass LAR =∑i=1r Ei,i.
(b) Es gibt eine Matrix B ∈ Kq×p mit ABA = A.
(c) Fuer die Matrix B aus Teil (b) gilt: Das lineare Gleichungssystem Ax = b fuer ein b ∈ Kp
ist genau dann lösbar, wenn ABb = b. In diesem Fall ist die Lösungsmenge L(A, b) durch

                      L(A, b) = {y − BAy + Bb | y ∈ K}

gegeben.

von

Vom Duplikat:

Titel: es seien k ein Körper und a aus k^p*q eine matrix von rang r.

Stichworte: körper,matrix

屏幕快照 2017-12-27 下午5.39.47.png#

hey, kann jmd. mir bei dieser aufgabe paar tipps geben habe leider keinen Ansatz dazu.

danke im voraus.

mfg

Vom Duplikat:

Titel: Es seien K ein Körper und A ∈ K…^p×q eine Matrix von Rang r. Zeigen Sie:

Stichworte: matrix,körper

屏幕快照 2017-12-30 下午4.41.00.png

hey, kann jmd. mir paar tipps zu dieser Aufgabe geben? habe leider keinen Ansatz bisher.

Danke im Voraus.

MfG

Was genau ist GL? L und R ? Sicher, dass 

" L ∈ GL_(p)(K) und R ∈ GL_(q)(K), so dass LAR =∑_(i=1)^{r} E_(i,i). " stimmt? 

Das ist die Aufgabe.

Screenshot_10.png

GL abkürzt das englische "general linear group"

Vom Duplikat:

Titel: Matrix B ∈ K^q×p mit ABA = A

Stichworte: matrix,körper,algebra

Hallo 

die a) habe ich verstanden und gemacht doch bei der b) versteh ich nicht was ich machen muss. Kann mir einer helfen? 2D9EAF48-5767-48B0-A16D-3812490FF691.jpeg Vielen Dank !!

Diese Fragen wurden bestimmt schon 5 mal eingestellt. Bitte suche die Antworten in den letzten 3-4 Tagen. 

3 Antworten

+2 Daumen

a) Wenn f die zu A gehörige lineare Abbildung ist, 

also f : Kq ---> Kp mit f(x) = A*x , dann bedeutet Rang = r,

dass die Bildmenge f(Kq) ein k-dimensionaler Unterraum von Kp ist.

Es gibt also Basen B1=(v1,...,vr,vr+1,...,vq) von Kq und  B2= {w1,.,wr,wr+1,..,wq} von Kp so, dass 

f(vi) = wi für i≤r und f(vi)=0 für i>r ist. Und die Matrizen der Basiswechsel von

der Standardbasis des Kq zu B1 bzw.  von B2 zur Standardbasis in Kp sind regulär,

also aus GLp(K) bzw GLq(K).

Und die Matrix bzgl. der neuen Basen hat in den ersten r Spalten in der Hauptdiagonale

je eine 1 und ansonsten 0en, ist also genau die geforderte Summe.

von 152 k
0 Daumen

Elementare Zeilenumformungen können durch Matrizen dargestellt werden, in dem Sinne, dass es zu jeder elementaren Zeilenumfomung eine Matrix Z gibt, so dass Z·M genau die Matrix ist, die aus M entsteht indem man die elementare Zeilenumformung auf M durchführt.

Die Matrix Z kommt dabei aus der allgemeinen linearen Gruppe.

Analog dazu können elementare Spaltenumformungen durch Matizen dargestellt werden, die dann allerdings von rechts an die Matrix multipliziert werden.

(a) besagt: A kann durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen so umgeformt werden, dass die ersten r Zeilen und Spalten die Einheitsmatrix ist, und alle anderen Einträge Null sind.

von 37 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
0 Daumen

Hallo Lu, du hast geschrieben, dass die Aufgabe schon mehrfach eingestellt wurde.  Ich habe aber leider nur einen Eintrag gefunden, https://www.mathelounge.de/300276/matrix-eines-korpers-existenz-weiteren-matrixen-beweisen, der nur Teilaufgabe a behandelt.  Ich habe sowohl unter „Ähnliche Fragen“, als auch in der MatheLounge Suche gesucht.

Hallo Oswald, zu Teilaufgabe a:  Deine Ausführungen sind nachvollziehbar, und ich kam mit Hilfe meines Scripts auf folgendes Beispiel:

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$
$$ L=\begin{pmatrix} 7/2 & -1 & -3/2 \\ 1/2 & -1 & 1/2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ (line)
$$ R=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ (row)
Probe:  $$ LAR=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$  -->  Korrekt.

Hallo zusammen, habt ihr auch für Teilaufgabe b einen Tipp?  :-) 

von 2,5 k

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