Bin mir nicht sicher, wie man folgende Aufgabe löst:
es seif : R→R eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften
1)f(x+y)=f(x)⋅f(y)
2)f(0)=1
3) f ist stetig
Wie zeigt man, dass i) f positiv und monoton ist?
Könnte man es zeigen, wenn man R als Vektorraum über den rationalen Zahlen auffasst? Wüsste aber nicht, wie man weiter vorgehen kann.
ii) f ist eindeutig bestimmt durch f(1) d.h. sind f1,f2 zwei Funktionen mit obigen beiden Eigenschaften und gilt f1(1)=f2(1) so folgt f1(x)=f2(x) für alle x∈R
Hier habe ich es mit Induktion versucht, bekam aber keine Lösung raus. Gibt es einen anderen Weg hierbei?