Bin mir nicht sicher, wie man folgende Aufgabe löst:
es sei$$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften
$$ 1) f(x+y) = f(x) \cdot f(y) $$
$$ 2) f(0)=1 $$
3) f ist stetig
Wie zeigt man, dass i) f positiv und monoton ist?
Könnte man es zeigen, wenn man $$ \mathbb{R} $$ als Vektorraum über den rationalen Zahlen auffasst? Wüsste aber nicht, wie man weiter vorgehen kann.
ii) f ist eindeutig bestimmt durch $$ f(1) $$ d.h. sind $$ f_1, f_2 $$ zwei Funktionen mit obigen beiden Eigenschaften und gilt $$ f_1(1) = f_2(1) $$ so folgt $$ f_1(x)=f_2(x) $$ für alle $$ x \in \mathbb{R} $$
Hier habe ich es mit Induktion versucht, bekam aber keine Lösung raus. Gibt es einen anderen Weg hierbei?
