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Bin mir nicht sicher, wie man folgende Aufgabe löst:

es seif : RR f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften

1)f(x+y)=f(x)f(y) 1) f(x+y) = f(x) \cdot f(y)

2)f(0)=1 2) f(0)=1

 3) f ist stetig

Wie zeigt man, dass i) f positiv und monoton ist? 

Könnte man es zeigen, wenn man R \mathbb{R} als Vektorraum über den rationalen Zahlen auffasst? Wüsste aber nicht, wie man weiter vorgehen kann.

ii) f ist eindeutig bestimmt durch f(1) f(1) d.h. sind f1,f2 f_1, f_2 zwei Funktionen mit obigen beiden Eigenschaften und gilt f1(1)=f2(1) f_1(1) = f_2(1) so folgt f1(x)=f2(x) f_1(x)=f_2(x) für alle xR x \in \mathbb{R}

Hier habe ich es mit Induktion versucht, bekam aber keine Lösung raus. Gibt es einen anderen Weg hierbei?

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Tipp1: f(2x)=f(x+x)=f(x)f(x)=(f(x))20f(2x)=f(x+x)=f(x)\cdot f(x)=\big(f(x)\big)^2\ge0.
Tipp2: 1=f(0)=f(x+(x))=f(x)f(x)1=f(0)=f\big(x+(-x)\big)=f(x)\cdot f(-x).

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