Funktionen monoton und stetig

Question

Bin mir nicht sicher, wie man folgende Aufgabe löst:

es sei$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften

$$1) f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$$

$$2) f(0)=1$$

 3) f ist stetig

Wie zeigt man, dass i) f positiv und monoton ist? 

Könnte man es zeigen, wenn man $$\mathbb{R}$$ als Vektorraum über den rationalen Zahlen auffasst? Wüsste aber nicht, wie man weiter vorgehen kann.

ii) f ist eindeutig bestimmt durch $$f(1)$$ d.h. sind $$f_1, f_2$$ zwei Funktionen mit obigen beiden Eigenschaften und gilt $$f_1(1) = f_2(1)$$ so folgt $$f_1(x)=f_2(x)$$ für alle $$x \in \mathbb{R}$$

Hier habe ich es mit Induktion versucht, bekam aber keine Lösung raus. Gibt es einen anderen Weg hierbei?

Answer 1

Tipp1: $f(2x)=f(x+x)=f(x)\cdot f(x)=\big(f(x)\big)^2\ge0$.
Tipp2: $1=f(0)=f\big(x+(-x)\big)=f(x)\cdot f(-x)$.