Stetigkeit der Funktion beta

Question

 

Ich komme leider bei der i auf kein Ergebnis. Kann mir hier jemand weiterhelfen ?

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Bitte Text abtippen. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Answer 1

zu (i)

Unter Verwendung von l'Hospital ergibt sich:

$\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } { f }_{ \alpha ,\beta }(x)=\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { x² }{ \frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right) } =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { g(x) }{ h(x) } =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { g(x)' }{ h(x)' } =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { 2x }{ \frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }+{ e }^{ -x } \right) } =\frac { 0 }{ 1 } =0$

$\frac { x² }{ sinh(x) }$ ist auf $(-\infty ,0)$ stetig (die einzige Nullstelle von $sinh(x)$ liegt bei $x = 0$)

Mit der Wahl von $\alpha =0\\$ ist f auf ganz R stetig bzw. stetig für alle $x\in R$, denn dann gilt $\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } { f }_{ \alpha ,\beta }(x)=0=f_{ \alpha ,\beta }(0)\quad$

und $\beta x$ , $\beta \in R$ ist auf $[0,\infty )$ stetig.

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Dankeschön- Noch eine Frage..Kann man nicht von x²/ sin h(x) die Ableitung bilden. Das wären nämlich 2x/ cos h(x) und 0/1 wären wiederum 0. Könnte man das auch machen ? Ich verstehe nämlich nicht woher die E-Fkt. jetzt herkommt.

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Kann man nicht von x²/ sinh(x) die Ableitung bilden? Du meinst Hospital anwenden (?) Ableiten müsstest du mit der Quotientenregel. 

Das wären nämlich 2x/ cosh(x) und 0/1 wären wiederum 0.

So hast du einen Grenzwert ausgerechnet (und nicht abgeleitet). 

PS. Achte aber auf den nicht vorhandenen Abstand bei sinh(x) und cosh(x) . Mit Abstand ist das falsch. 

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Wie leitet man mit der Q.Regel ab ?