Kurvenschar - Kurve auf die alle Wendepunkte liegen.

Question

Aufgabenstellung

a) Der Parameter a der Kurvenschar... 

f_(a)(x) = 1/4*x - ax^{2}/4 = 1/4(x^{4} - ax^{2})

...soll so gewählt werden,
dass der Graph bei x = 1 einen Wendepunkt hat.
Wie lauten die Koordinaten des
zweiten Wendepunkts?

Meine Lösungen (richtig)
a = 6 
W_(1) = (1 I -5/4) 
W_(2) = (-1 I -5/4) 



Probleme fangen  hier an...
b) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte der Schar?
Muss ich hier die...

(1) f_(a)"(x) = 0 setzen und nach a auflösen ?
(2) f_(a)"(x) = 0 setzen und nach x auflösen ? 

oder mit a = 6 als eingesetzten Wert
(3) f"(x) = 0 setzen und nach x auflösen ?  


Wenn ich das habe, setze ich das Aufgelöste dann in die Gleichung von f(x) ein oder f"(x) ein ?

Answer 1

Hi,

das dritte kannst du direkt ausschließen, da, wenn du \(a=6\) einsetzen würdest, du ja einfach \(f_6(x)\) erhalten würdest. Diese Funktion verläuft nur durch die beiden Wendepunkt aus dem ersten Teil.

Würdest du \(f''_a(x)=0\) setzen und nach \(x\) auflösen, so könntest du z.B. die berechneten Werte in \(f_a(x)\) einsetzen, womit du die Funktionswerte deiner Wendestellen bekommen würdest. Danach ist aber nicht gefragt.

Richtig ist \(f''_a(x)=0\) setzen und nach \(a\) auflösen. Anschließend dieses \(a\) in \(f_a(x)\) einsetzen. Fertig :)

Answer 2

b) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte der Schar?
Muss ich hier die...

(1) fa"(x) = 0 setzen und nach a auflösen ?   Nein, für den Punkt brauchst du erst mal das x
(2) fa"(x) = 0 setzen und nach x auflösen ?   Genau 

Gibt:  x = ±√(a / 6)    dann y = -5a² / 144 

aus  x = ±√(a / 6)   folgt x² = a/6

also  a² = 36x⁴   einsetzen  in   y = -5a² / 144 

gibt y = -5x⁴ / 4 ist die Gleichung der gesuchten Ortslinie.

Answer 3

Hallo limonade,

>   b) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte der Schar?

Da die Ortskuve die Form y = f(x)  haben soll, musst du den die Wendepunkte der Schar bestimmen und aus dem x- und dem y-Wert a eliminieren:

f_a(x)  =  1/4 * (x⁴ - a²x)

f_a'(x)  = x³ - a/2 * x

für  a > 0 ergibt             (sonst keine Wendepunkte!) 

f_a"(x)  =  3x² - a/2  = 0   die Wendestellen  x_1,2 =  ± √a / √6 

Einsetzen  in f_a  ergibt dann die Wendepunkte  W_1,2 (  ± √a / √6 | - 5·a² /144 )

Die Koordinaten (x|y)  der Wendepunkte sind also 

 y = - 5·a² /144  und    x = ± √a / √6   →  a  = 6x² 

a in den y-Term  eingesetzt ergibt 

y = - 5 · (6x²)² /144  =  - 5/4 x^2

Das ist die Ortskurve, auf der alle Wendepunkte der Kurvenschar liegen.

Graphen von f₁ , f₂ und f₃   und der Ortskurve  y = -5/4 x² 

Gruß Wolfgang