Zeigen Sie die Abschätzung: (y-x) · (y+x) · ey² ≥ ey² - ex²

Question

Kann mir einer bitte erklären wie man hier vorgeht? Riesen Dankeschön.

Zeigen Sie die folgende Abschätzungen:

Für x,y ∈ ℝ mit 0 < x < y gilt: (y-x) · (y+x) · e^y²  ≥  e^y² - e^x²

Answer 1

Hallo Mathegirl,

(y-x) * (y+x) * e^{y^2}  ≥  e^{y^2} - e^{x^2}   |  : e^{y^2}   [≠0]

y² - x²  ≥  1 - e^{x^2} /  e^{y^2}

y² - x²  ≥  1 - e^{x^2-y^2}

    Setze z = y² - x²   ( > 0 , da nach Voraussetzung 0<x<y )

z  ≥ 1 - e^-z  

1 - e^-z - z  ≤  0    (#  ?)  

Betrachte  f(z) = 1 - e^-z - z   mit D_f = ℝ⁺ 

Es gilt:

f '(z) = e^-z - 1 < 0  (→ f streng monoton fallend)  und  lim_z→0+ f(z) = 0^-  

→   #    und damit die Behauptung

Gruß Wolfgang

Comments

sehr nett  danke ! :)