Volumen eines Rotationskörpers mit f(x) = √(2-x2)

Question

Kann mir jemand bei den Aufgaben weiter helfen?

Volumen eines rotationskörpers  

Comments

Bitte wähle aussagekräftige Überschriften für deine Fragen. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Ist das eine Prüfung die du da online machst?

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Das ist keine Prüfung. Ein selbsttest das was ich nicht konnte frage ich.

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Habe die Überschrift präzisiert.

f(x) = √(2-x²)

kommt im Integranden "im Quadrat" vor.

D.h. du musst gemäss der angegebenen Formel 2 - x² integrieren. Das kannst du doch. Zeige mal deine Rechnung.

Answer 1

∫ (-√2 bis √2) (pi·√(2 - x²)²) dx = 8/3·√2·pi = 11.85

∫ (3/8 bis 11/2) (20·SIN(3·x)) dx = 7.557

Bitte sage doch noch was du an den Aufgaben nicht konntest?

Stammfunktion von

y = pi·(2 - x²)

y = 20·SIN(3·x)

Beides solltest du eigentlich hinbekommen

Dann Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung anwenden.

∫ (a bis b) f(x) dx = F(b) - F(a)

Comments

Ich komme nicht auf die stammfunktion von 20sin(3x)

Danke

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y = 20·SIN(3·x)

Y = -20/3·COS(3·x)

Answer 2

Kreisgleichung
r² = x² + y²
y² = r² - x²
y = f ( x ) = √ ( r² - x² )

f ( x ) = √ ( 2 - x² )
r² = 2
r = √ 2

Es handelt sich also um einen Kreis mit dem
Radius r = √ 2

Dieser als Rotationskörper ist eine Kugel.
f ( x ) = √ ( 2 - x² )
A ( x ) = π * [ f (x ) ] ²
A ( x ) = π * [  √ ( 2 - x² ) ] ²
A ( x ) = π * ( 2 - x² )
Stammfunktion
S ( x ) = ∫ π * ( 2 - x² ) dx
S ( x ) =  π * ( ∫ 2 - x²  dx
S ( x ) =  π * ( 2x - x³ / 3  )
Nullstellen x = - √ 2 und  x = + √ 2
Für die Halbkugel
V ( x ) = [ S ( x ) ] zwischen 0 und √ 2
V ( x ) = π * [ 2x - x³ / 3 ] zwischen 0 und √ 2
V = π * [ 2*√2 - (√ 2)³ / 3 ]
V = 5.92
Vollkugel
V = 11.84

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Herleitung der Kugelformel
f ( x ) = √ ( r² - x² )
a ( x ) = π * [ f ( x ) ] ²
a ( x ) = π * ( r² - x² )
S ( x ) = π * ( r² * x - x³ / 3 )
Halbkugel
V ( r ) =  π * ( r² * r - r³ / 3 ) = 2/3 * r³
Vollkugel
V = 4/3 * π * r³

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Ich komme nicht auf die stammfunktion von
20 * sin(3x)

die Funktion sin ( 3x ) kann nur aus einer
( minus cos ) - Funktion kommen.
Probieren wir einmal
[ -cos (3x ) ] ´ = sin (3x) * 3
( Kettenregel :
äußere Ableitung * innere Ableitung )
Dann sind wir ja schon fast dort wo wir
hinwollen.
Es fehlt noch eine Konstante
20 / 3 * ( - cos (3x ) )