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EDIT: Hat jemand eine Idee wie man von der zweiten auf die dritte Zeile kommt?

Hallo zusammen,


Ich kann folgende Umformung nicht ganz nachvollziehen:


1:$$P(z|x)\quad =\quad \sum _{ y }^{  }{ P(z,y|x)\quad \quad |law\quad of\quad total\quad probability }$$

2:$$P(z|x)\quad =\quad \sum _{ y }^{  }{ P(z|y,x)\quad P(y|x)\quad |cond.\quad prob\quad P(y/x)\quad >0 }$$

3:$$P(z|x)\quad =\quad \sum _{ y }^{  }{ P(z|y)\quad P(y|x)\quad |Ip.\quad (Independance) }$$


Es geht um Bayesische Netze, genauer x->y->z und man solle zeigen das  Ip({X},{Z}). Das obige ist ein Teil der Lösung den ich nicht verstehe.


Die erste Zeile verstehe ich noch, da wurde das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit benutzt. Ich verstehe aber nicht welche regeln für die weiteren Umformungen verwendet wurden. Wäre euch dankbar für Erklärungen oder Tipps.

Gefragt von

Liest man P(z,y|x) als

"Wahrscheinlichkeit, dass z und y eintreffen, wenn x bekannt ist"

oder

"Wahrscheinlichkeit für z und für y, wenn x bekannt ist." ?

Und gäbe es zwischen beiden Lesarten einen logischen Unterschied? 

Die erste Zeile verstehe ich noch

Da hast du mir einiges voraus.
Warum ist die linke Seite von y und z abhängig, die rechte aber von x und z ?

@TR das ist die Wahrscheinlichkeit dafür das z und y eintreffen vorausgesetzt das x eingetroffen ist.

@Gast hj2166 Tatsächlich habe ich einen Fehler beim verfassen gemacht, links müsste immer P(z|x) stehen. Korrigiere das mal.


Edit: Kann die Frage leider nicht mehr bearbeiten. Also links steht P(z|x) und mit dem Gesetz der Totalen Wahrscheinlichkeit kommt das y mit rein, worüber auch summiert wird. So entsteht die erste Zeile.

Edit: Die x nun am richtigen Ort? 

Super, Danke! 

Zu den Basics: 

Stimmt das so ?

3nung.png

Weil b,c und x eigentlich Ereignisse und damit Mengen sind müsste man doch schreiben

P(z | x) = |b + c| / |x| 

oder nicht? Ansonsten würde ich dem zustimmen.

Müsste dann y nicht " umfassender " sein, damit in der Summe  |b| überhaupt in den Zähler kommen kann? (erste Zeile) 

Das mit deinem Diagramm stimmt so. Habe das Gefühl das von der ersten auf die zweite Zeile eine bestimmte Regel angewandt wurde die ich einfach nirgendswo finden kann. 

Das einzige was ich zu conditional Probability habe ist  P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

Weiterhin habe ich gefunden dass: P(A∩B) = P(B|A) * P(A)

Habe jetzt rausgefunden wie man von Zeile 1. zur Zeile 2. kommt:

P(z,y|x) = P(x,y,z)/P(x)= (P(X)P(y|x)P(z|y,x))/ P(x) = P(z|y,x)P(y|x)

Das wäre die zweite Zeile. Hat jemand eine Idee wie man von der zweiten auf die dritte kommt?

Also P(z|y,x)P(y|x) = P(z|y) P(y|x) ?


Überall : (A,B) = (A∩B)

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