Beweis zur Konvergenz des Bruchs x^a/b^x=0

Question

Hey zusammen! :)

Ich hätte diesmal folgende Frage zu stellen. Für b>1 soll diese Aussage bewiesen werden:

 

Soweit so gut. Jetzt steht in der Lösung:

Mein Problem liegt vor allem bei dem Schritt, wo statt x^c eine 1 geschrieben wird und im Nenner x^k-c steht. Was war hier die Absicht? Und gibt es eventuell einfachere Ansätze für diese Aufgabe?

:)

Comments

Mein Problem liegt vor allem bei dem Schritt, wo statt x^c eine 1 geschrieben wird und im Nenner x^k-c steht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kürzen

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Potenzgesetze

Answer 1

intuitiv weiß man ja schon, dass b^x irgendwann stärker wächst, ist ja eine Expoentialfunktion.

Vermutung des Grenzwerts ist daher =0 .

Nun wäre es schon, wenn man das Einschlusskriterium verwenden könnte. Die Folge ist auf jedenfall größer

als 0, da alles Terme positiv sind für x---> ∞ .

Dann wurde die Exponentialreihe eingesetzt.

Mein Problem liegt vor allem bei dem Schritt, wo statt x^c eine 1 geschrieben wird und im Nenner x^{k-c} steht. Was war hier die Absicht?

Es wurde x^c gekürzt, im Nenner ergibt sich nach Potenzgesetzen dann x^{k-c}.

Answer 2

Es ist glaube ich keine wirkliche Erklärung...

Sowohl x^a als auch b^x streben gegen unendlich (wenn x gegen unendlich verläuft)

b^x ist dabei aber dominant und wächst schneller.

Da der Ausdruck im Nenner steht und man quasi "durch unendlich teilt" geht der gesamte Bruch gegen 0.

Viel Erfolg!