Finden Sie alle Polynome p ∈ V4, sodass f(p) = 5 +x+ 4x2

Question

Wir betrachten für k ∈ N die Unterräume V_k:={p∈R[x]|Grad(p)≤k}von R[x]. Wir wählen die Basen C:={1,x,x²,x³,x⁴} und D={7,x−2,4x²} von V₄ und V₂. Sei f: V₄→V₂ die R-lineare Abbildung, deren darstellende Matrix bezüglich der Basen C und D durch A gegeben ist. Finden Sie alle Polynome p ∈ V₄, sodass f(p) = 5 +x+ 4x²

Nun habe ich berechnet

f(1)=10            = 10/7 *7+ 0*(x-2) +0*4x²

f(x)= 5+x+4x²    = 1*7 + 1*(x-2)+ 1*4x²

f(x²)= 5+x²+ 4x⁴ = 9/7 *7 +(x+2)*(x-2) +x²*4x²

f(x³)= 5+ x³+ 4x⁶

f(x⁴)= 5+x⁴+4x⁸

Bei den letzten beiden weiß ich nicht wie ich diese darstellen kann. Oder habe ich das ganz falsch verstanden und löst man die Aufgabe anders?

Comments

Ohne die Matrix A ist es schwierig.

Answer 1

Wenn du ein Polynom p mit f(p)=5 +x+ 4x² gefunden hast, brauchst du nur noch den Kern

von f zu bestimmen, denn jedes der gesuchten Polynome ist von der Form p+q mit einem 

q ∈ Kern(f).

Comments

Oh stimmt die habe ich vergessen.

Also die Matrix A ist

1  2  2  -1  3

1  2  3   1  1

3  6  8   1  5

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Mit Gauss bekommst du 

3   6    8   1   5
0   0   1   2   -2
0   0   0   0    0

Wenn also p = a +bx +cx² +dx³+ex⁴ ist, dann gilt

f(p) = 0  A * (a,b,c,d,e)^T = 0   ist.  Dazu kannst du erst mal 

d und e frei wählen und hast dann c = -2d + 2e 

und mit der ersten Gleichung  (b wieder frei wählbar) 

3a + 6b +8*( -2d + 2e ) + d + 5e = 0 

a = -2b +5d -7e 

also p=  -2b +5d -7e + bx + (-2d + 2e )x² + dx³ + ex⁴ 

         = b*(-2+x) + d*(5-2x² +x³) + e*(-7+2x²+x⁴) 

Also: für alle Linearkombinationen von 

(-2+x)    ,    (5-2x² +x³)    ,    (-7+2x²+x⁴) 

ist das f-Bild das Nullpolynom.

Jetzt brauchst du also nur noch ein Polynom, dessen Bild 

5 +x+ 4x² ist. Dazu muss du dieses mal erst in der gegebenen

Basis darstellen.  Brauchst also abc mit 

a*7  + b*(x−2)  +c*4x²   = 5 +x+ 4x²  lösen, das gibt wohl 

a=b=c=1   .  Also muss du jetzt noch eine Lösung für

A * (a,b,c,d,e)^T = (1,1,1)^T    finden.

Da bekomme ich:  Es gibt keine Lösung.

Na da hätte man das ganze mit dem Kern sparen können:

Es gibt kein Polynom in V₄ dessen Bild  5 +x+ 4x²   ist.

 

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Danke für deine Antwort