Krümmungsruckfreie Trassierung mit einer Funktion 4. Grades

Question

Hallo liebes Mathelounge-Forum,

ich habe eine Frage zu meiner Präsentationsleistung, die ich am Freitag halte. Das Thema ist die Trassierung, insbesondere die krümmungsruckfreie From. Ich habe bis jetzt meist nur gelesen, dass eine solche krümmungsruckfeie Trassierung nur mit einer Funktion 5. Grades möglich ist. Die Erklärung dafür war, dass man ja in diesem Fall 6 Bedingungen bzw. Gleichungen hat und somit genügend für eine Funktion 5. Grades mit 6 Variablen. Allerdings leuchtet mir diese Begründung nicht wirklich ein. Normalerweise gibt es doch auch Gleichungssysteme in denen es mehr Gleichungen als Variablen gibt. In solchen Fällen löschen sich doch Gleichungen mit demselben Wahrheitswert einfach gegenseitig weg, sodass ein solches "überdefiniertes" Gleichungssystem trotzdem lösbar ist, oder nicht?  Meine Frage: Ist es möglich eine solche Trassierung auch mit einer Funktion niederen Grades darzustellen? 

Eine weitere Frage: Wenn man noch mehr als sechs Bedingungen hat, zum Beispiel wegen eines weiteren vorgegebenen Punktes, erhöht sich dann der Grad der Funktion automatisch? Nur weil eine Bedingung mehr gegeben ist, verändert sich doch nicht der Grad einer Funktion oder liege ich da falsch?

Ich hoffe, ich habe meine Frage verständlich erläutert und freue mich über jede Hilfe!

Liebe Grüße,

Carlotta

Answer 1

Hast du dich mal mit dem mathematischen Begriff der Krümmung beschäftigt? Für Krümmung gibt es eine Formel. Ein Krümmungsruck entsteht, wenn sich in einem Punkt die Krümmung schagartig ändert, z,B.vom Kreis in eine Tangente. Im Kreis mit dem Radius r ist die Krümmung überall 1/r. Die Tangente hat die Krümmung 0. Beim übergang eines Kreises in seine Tangente entsteht also immer ein Krümmungsruck. Das gilt natürlich auch, wenn der Graph einer Polynomfunktion in eine Tangente übergeht.

Comments

Das gilt natürlich auch  ...

So natürlich ist das nicht  (es ist nämlich sogar falsch) .

---

Neuer Vorschlag: Das gilt in fast jedem Punkt, an der der Graph einer Polynomfunktion in die Tangente in diesem Punkt übergeht.

Answer 2

Gesucht ist das Zwischenstück zwischen
2 Straßenstücken

f : 1 Straßenstück
g : Zwischenstück
h : 2.Straßenstück

Bekannt sind vom 1.Straßenstück
Koordinaten Endpunkt
Steigung im Endpunkt
Krümmung im Endpunkt

Bekannt sind vom 2.Straßenstück
Koordinaten Anfangspunkt
Steigung im Anfangspunkt
Krümmung im Anfangspunkt

g ( xe ) = f ( xe )
g ´( xe ) = f ´( xe )
g ´´ ( xe ) = f ´´( xe )
g ( xa ) = h ( xa )
g ´( xa ) = h ´( xa )
g ´´ ( xa ) = h ´´ ( xa )

Dies sind  6 Aussagen die für
die Bestimmung einer Funktion 5.Grades
ausreichen sollten.

Comments

Das habe ich so auch verstanden, aber meine Frage ist: ist ein krümmungsruckfreier Übergang auch mit einer Funktion 4. oder 3. Grades möglich? und wenn nicht warum?

---

Dazu kann ich dir leider nichts sagen.

---

Du musst zunächst auf jeden Fall ein Polynom fünften Grades mit 6 Koeffizienten ansetzen, um die 6 Bedingungen zu erfüllen.

Die Koeffizientenmatrix des zugehörigen Gleichungssystems hat nun genau dann die Determinante 0, wenn Anfangs- und Endpunkt deines Trassenstücks übereinstimmen (vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=determinant+(%7B%7Ba%5E5,a%5E4,a%5E3,a%5E2,a,1%7D,%7B5a%5E4,4a%5E3,3a%5E2,2a,1,0%7D,%7B20a%5E3,12a%5E2,6a,2,0,0%7D,%7Bb%5E5,b%5E4,b%5E3,b%5E2,b,1%7D,%7B5b%5E4,4b%5E3,3b%5E2,2b,1,0%7D,%7B20b%5E3,12b%5E2,6b,2,0,0%7D%7D)%3D0 )

Das bedeutet, dass die zu berechnende Trasse eindeutig festgelegt ist, das Gleichungssystem ist weder über- (es gibt eventuell gar keine Lösung) noch unter- (es gibt eventuell mehrere Lösungen) bestimmt, der Fall  löschen sich doch Gleichungen mit demselben Wahrheitswert einfach gegenseitig weg  kommt nicht vor.

Es kann allerdings durchaus sein, dass die Koeffizienten vor x^5 oder vor x^5 und x^4 oder ... sich zu 0 berechnen, wodurch die gesuchte Trasse dann tatsächlich durch ein Polynom niedrigeren Grades (bis hin zu Grad 0) dargestellt werden muss.