Beweisen von Aussagen von Mengen

Question

Aufgabe:

Sei \( \Omega \) eine Grundmenge und sei für Teilmengen \( A, B \subseteq \Omega \) die Verknüpfung, \( A * B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \) definiert. Dann gelten für alle Teilmengen \( A, B, C \subseteq \Omega \) die folgenden Eigenschaften:

(i) \( A * B=B * A \)
(ii) \( A *(B * C)=(A * B) * C \)
(iii) \( A * \emptyset=A \)
(iv) \( A * A=\emptyset \)
(a) Beweise die Eigenschaften (i), (iii) und (iv).
(b) Zeige mit Hilfe von (i)-(iv), dass es für gegebene Mengen \( A, B \subseteq \Omega \) genau eine Menge
\( X \) gibt, sodass \( A * X=B \)

Wie fang ich hier an beziehungsweise wie kann ich das beweisen?

Answer 1

Zu a)
(i)  A * B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) = ( B \ A ) ∪ ( A \ B ) = B * A.
(iii)  A * ∅ = ( A \ ∅ ) ∪ ( ∅ \ A ) = A ∪ ∅ = A.
(iv)  A * A = ( A \ A ) ∪ ( A \ A ) = ∅ ∪ ∅ = ∅.

Zu b)  Wende die obigen Regeln an.
Existenz: Wähle  X = A * B. Dann ist  A * X = A * ( A * B ) = ( A * A ) * B = ∅ * B = B.
Eindeutigkeit: Seien  X,Y ⊆ Ω  mit  A * X = A * Y = B. Zu zeigen ist  X = Y.
∅ = B * B = ( A * X ) * ( A * Y ) = (( A * X ) * A ) * Y = (( X * A ) * A ) * Y
    = ( X * ( A * A )) * Y = ( X * ∅ ) * Y = X * Y.
Es ist also  ( X \ Y ) ∪ ( Y \ X ) = ∅  und  damit  X \ Y = Y \ X = ∅.
Daraus folgt die Behauptung.

Comments

danke erstmal :)

bei b) warum wählst du hier X =A*B ? wie kommst du auf diese Annahme?

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Ein derartiges  X  lässt sich vermutlich nicht explizit unter Anwendung der Definitionen und Eigenschaften ermitteln. X = A*B  ist mehr oder weniger geraten, erfüllt aber die Bedingung  A*X = B.