Rekonstruktion von ganzrationalen Funktionen

Question

Für welche ganzrationale Funktion 2. Grades gilt, dass ihr Graph die Abszissenachse bei x₀ = - 1 schneidet und in P (3/2) eine waagerechte Tangente besitzt.

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter, mein Ansatz sieht aktuell so aus:

f(-1)=0=>0= a₂- a₁ + a₀

f(3)=2=> 2=9a₂+3a₁+a₀

f '(3)=0=> 0=6a₂+a₁

Meine Funktion lautete am Ende f(x) = -0,5*x^2+3x+3,5

Die Funktion ist leider nicht richtig, könnte mir jemand meinen Fehler zeigen?

Comments

Hab meinen Fehler gefunden, die richtige Funktion lautet: -1/12x^2+5/2*x+31/12

Answer 1

P (3/2) ist Scheitelpunkt.dann eignet sich der Ansatz mit der Scheitelfom f(x)=a(x-3)²+2. Q(-1|0) ist Punkt der Parabel. Also 0=a(-1-3)²+2=16a+2 daher a=-1/8. Die Gleichung lautet dann f(x)=-1/8·(x-3)²+2=x²/8+3x/4+7/8.

Comments

Also ich hab meine Antwort gerade geplottet und die waagerechte Tangente hat bei mir auch den Punkt (3/2). Bei dir hat die Tangente den Wert 1, wenn du für x = 3 einsetzt, wenn ich falsch liege, dann korrigier mich bitte.

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Meine Gleichung f(x)=-1/8·(x-3)²+2 ist richtig, allerdings habe ich hinter dem Gleichheitszeichen ein Minuszeichen vergessen: -1/8·(x-3)²+2= - x²/8+3x/4+7/8. 

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Bei dir geht die Tangente nicht durch den Punkt (3/2)

Answer 2

Damit du auch später deine Lösungen
kontrollieren kannst

Du  gehst nach
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "

f (-1 ) =0
f ( 3 ) =2
f ' ( 3 ) =0

ein ( Die 3 obigen Zeilen kopieren und dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "

Zur Kontrolle
f ( x ) = -0,125·x^2 + 0,75·x + 0,875

Answer 3

  Der Scheitel liegt immer genau in der Mitte zwischen den beiden Knoten; ich weiß dass ihr das alle wisst.  Viele ziehen sogar Nutzen daraus. D.h. aus x1 = ( - 1 ) folgt x2 = 5

     f  (  x  )  =  k  (  x  +  1  )  (  x  -  5  )  =  k  (  x  ²  --  4  x  -  5  )

Comments

Die 2. Nullstelle stimmt nicht.

Answer 4

Für welche ganzrationale Funktion 2. Grades gilt, dass ihr Graph die Abszissenachse bei x = - 1 schneidet und in S(3| 2) eine waagerechte Tangente besitzt?

Bei einer ganzrationalen Funktion 2. Grades liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes in der Mitte der beiden Nullstellen:

\( x_1=-1     \) und     \( x_1=7    \)

Linearfaktorenform:

\( f(x)=a(x+1)(x-7)    \)

S(3| 2)

\( f(3)=a(3+1)(3-7) =-16a= 2  \)

\(a=-\frac{1}{8}  \)

\( f(x)=-\frac{1}{8}(x+1)(x-7)    \)