Allerherzliebster Unknown; mit meiner Erfahrung knacke ich dein Polynom. Mit ein bissele Grips kannst du dir da viel Knobelarbeit ersparen.
Zugegeben; zunächst mal habe ich Wolfram bemüht. Ein gerades Polynom weist wenn überhaupt nur gerade Symmetrie auf; siehe dein Plot. Der hat mich nämlich allererst stutzig gemacht. Schreib mal Wolframs Wurzeln als aufsteigend sortierte Folge
x < n > ; n = 1 , 2 , 3 , 4 ( 1a )
x1 = 3/4 - 1/8 sqr ( 4 + 8 ^ 1/2 ) ( 1b )
x2 = 3/4 - 1/8 sqr ( 4 - 8 ^ 1/2 ) ( 1c )
x3 = 3/4 + 1/8 sqr ( 4 - 8 ^ 1/2 ) ( 1d )
x4 = 3/4 + 1/8 sqr ( 4 + 8 ^ 1/2 ) ( 1e )
Im nächsten Schritt bilde ich die Differenzenfolge von ( 1b-e )
d < n > := x < n + 1 > - x < n > ; n = 1 , 2 , 3 ( 2a )
8 d1 = 8 ( x2 - x1 ) = sqr ( 4 + 8 ^ 1/2 ) - sqr ( 4 - 8 ^ 1/2 ) ( 2b )
8 d2 = 8 ( x3 - x2 ) = 2 sqr ( 4 - 8 ^ 1/2 ) ( 2c )
d3 = x4 - x3 = d1 ( 2d )
Diese Spiegelsymmetrie ( 2d ) gegenüber dem mittelsten Element d2 ist notwendig und hinreichend für gerade Symmetrie. Wir können sogar die Symmetrieachse konkret ablesen in ( 1b-e )
x0 = 1/4 ( x1 + x2 + x3 + x4 ) = 1/2 ( x1 + x4 ) = 1/2 ( x2 + x3 ) = 3/4 ( 3 )
Der in der Schule propagierte Standpunkt, gerade Symmetrie könne man daran erkennen, dass ausschließlich gerade Koeffizienten auftreten, ist naiv. ( Die Bedingung ist hinreichend, aber eben nicht notwendig. ) Wir können nicht warten, bis sich die Symmetrieachse nach x = 0 bemüht - in Wirklichkeit siehst du erst mal gar nichts.
Diese Betrachtung ( 1a-e;2a-d ) habe icn deshalb so ausführlich gehalten, weil mir von Seiten der hoch verehelichten Schülerschaft konstant der Einwand entgegen schlug
" Unser Lehrer hat gesagt, bei Polynomen 4. Grades muss man die Wurzeln RATEN . Und wenn du hier irgendwas andres machst, hören wir dir einfach nicht mehr zu ... "
Wenn ihr mich aber jetzt fragt
" Ja wenn ich aber keinen Wolfram zur Verfügung habe und die Nullstellen nicht kenne. Was soll ich denn dann machen? "
Dann habe ich euch erstmals da, wo ich euch schon immer hin haben wollte. Ich brauch doch keine Wurzeln ermitteln - ja reelle Nullstellen muss es nicht mal geben - um etwas über diese Symmetrie in Erfahrung zu bringen; das Zauberwort heißt ===> Taylorreihe.
Wie sieht die Taylorentwicklung aus bei einem Polynom 4. Grades?
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + ( h ³ / 3 ! ) f (³) ( x0 ) + a4 h ^ 4 ( 4a )
h := x - x0 ( 4b )
Was fällt uns auf? Den Leitkoeffizienten a4 kriegen wir nicht weg; der ist invariant, unabhängig von der konkreten Wahl von x0 . Deshalb auch kann ein gerades Polynom niemals ungerade Symmetrie aufweisen.
Denken wir nach; die 3. Ableitung eines Polynoms 4. Grades ist immer vom ersten Grade; linear. Es gibt ein und nur ein x0, so dass f(³) verschwindet; entwickeln wir f nunmehr um dieses ausgezeichnete x0 .
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + a4 h ^ 4 ( 4c )
Mehr können wir nicht tun; wenn es Probleme gab, pflegte mein amerikanischer Assistenzprof zu sagen
" Go to Church and pray ... "
Hoffen wir auf das Wunder, dass gleichzeitig
f ' ( x0 ) = 0 ( 4d )
Dann nämlich
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + ( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + a4 h ^ 4 ( 4e )
Und zwar ist ( 4e ) die typische biquadratische Funktion ( BQF ) die ihr in der Schule immer mit dieser z-Substitution bearbeitet - siehst du das?
Unser harrt eine Knochenarbeit; ist Ableiten zufällig euer Hobby?
f ( x ) = 2 ^ 9 x ^ 4 - 2 ^ 9 * 3 x ³ + 2 ^ 7 * 13 x ² - 2 ^ 8 * 3 x + 127 ( 5a )
f ' ( x ) = 2 ^ 8 ( 2 ³ x ³ - 2 * 3 ² x ² + 13 x - 3 ) ( 5b )
1/2 f " ( x ) = 2 ^ 7 ( 2 ³ * 3 x ² - 2 ² * 3 ² x + 13 ) ( 5c )
1 / 3 ! f(³) ( x ) = 2 ^ 9 ( 2 ² x - 3 ) ( 5d )
Was wollten wir nochmal? Die Nullstelle von ( 5d ) ist x0 = 3/4 Jetzt dieses x0 einsetzen in ( 5a-c ) ; an sich macht man das mit Onkel Horner. Ich mach das jetzt mal auf die Schnelle mit Wolfram; ihr habt ja den GTR .
f ( x0 ) = 1 ( 6 )
Zur Berechnung von ( 5b ) leistet uns nützliche Dienste eine von mir entdeckte Verallgemeinerung des ===> Satzes von der rationalen Nullstelle ( SRN ) User Ascon giftete mich übrigens an, ich sei ein " Troll, weil ich nicht zitiere, dass der SRN von Gauß " gefunden worden sei. Literaturrecherchen ergaben in der Tat, dass alle Texte, die ihn überhaupt zur Kenntnis nehmen, sich auf Gauß berufen - Wiki eingeschlossen.
Ich vertrete hier vehement den Standpunkt, dass es sich dabei um eine Fälschung handelt - Artin und v.d. Waerden ( 1930 ) , beide Urgestein der Algebra, kennen ihn überhaupt nicht.
Darauf hin meldete sich User " Medicopter " / Mainz in einem Kommentar zu Wort
" Der SRN ist belegt spätestens seit 1975; dass er auf Gauß zurück geht, habe ICH nie behauptet. "
Der SRN muss der Art neu sein, dass ihn die Autoren nicht einmal korrekt zitieren; die Aussage hat doch überhaupt nur Sinn für primitive Polynome ( Warum? )
Und unmittelbar in der Woche im Jahre 2011 , als ich vom SRN erfuhr, gelang mir zunächst rein empirisch eine Entdeckung. Sei p primitiv und x0 eine rationale Wurzel von p. ( x0 sei wie üblich als gekürzt voraus gesetzt. ) Dann ist die von x0 induzierte Hornerfolge GANZZAHLIG - eine direkte Verallgemeinerung der ursprünglichen SRN Aussage.
Dass dies vor mir noch niemandem aufgefallen ist ( und auch seither nicht mehr ! ) belegt doch nur schlagend, dass kein Autor je auf die Idee kam, Bruchzahlen in Polynome einzusetzen - ein Eindruck, den ich ohne Weiteres bestätigen kann.
Die primitive Form von ( 5b ) ist
g ( x ) = b3 x ³ + b2 x ² + b1 x + b0 ( 7a )
b3 = 8 ; b2 = ( - 18 ) ; b1 = 13 ; b0 = ( - 3 ) ( 7b )
Bei mir gilt die Konvention: Koeffizienten eines primitiven Polynoms werden mit " b " bezeichnet.
So bald Horner auf einen ( ganzzahligen ) Term brettert, der nicht teilbar ist durch 4 , BRECHEN WIR AB .
p3 ( g ) = b3 ( g ) = 8 ; 4 | p3 ( 8a )
p2 ( g ; x0 ) = p3 x0 + b2 ( g ) = 8/4 * 3 - 18 = ( - 12 ) ; 4 | p2 ( 8b )
p1 ( g ; x0 ) = p2 x0 + b1 ( g ) = - 12/4 * 3 + 13 = 4 ; 4 | p1 ( 8c )
p0 ( g ; x0 ) = p1 x0 + b0 ( g ) = 4/4 * 3 - 3 = 0 ( 8d )
Zu unserem Glück fehlt uns nur noch ( 5c )
1/2 f " ( x0 ) = ( - 64 ) ( 9a )
Und in Normalform lautet unser Polynom
f ( h ) = h ^ 4 - p h ² + q ( 9b )
p = 1/8 ; q = 1 / 2 ^ 9 ( 9c )
Du brauchst nichts mehr rechnen; ich habe eine vollständige Kategorienlehre für BQF entwickelt. Aus der cartesischen Vorzeichenregel folgt eine notwendige Bedingung für reelle Wurzelpärchen
p > 0 ; q > 0 ( 10a )
Bitte um freundliche Beachtung. Die Topologie der Kurve wird ausschließlich durch den Parameter p bestimmt; bei p < 0 hast du V-Form ähnlich wie Parabel.
Dagegen wir haben p > 0 und damit W-Form; die mittlere Spitze ist das ( lokale ) Maximum
f ( max ) = q ( 10b )
und die Seitenspitzen sind natürlich die absoluten Minima:
h1;2 = -/+ sqr ( p/2 ) = -/+ 1/4 ( 10c )
f ( min ) = q - ( p/2 ) ² = - 7 / 2 ^ 9 ( 10d
