Koordinatengleichung einer Ebene

Question

Eine Ebene ist durch die drei Punkte A(11/1/1), B(-3/2/-3), C(24/-4/2) gegeben.

Wie bekomme ich jetzt mit dem Kreuzprodukt die Koordinatengleichung? Könnte mir das bitte jemand erklären?

Answer 1

Wie das geht, wurde dir doch hier https://www.mathelounge.de/530594/kreuzprodukt-was-sind-die-vorteile beschrieben.
Was sind denn die Vektoren AB und AC bei deinen Punkten A(11/1/1), B(-3/2/-3), C(24/-4/2) ?

[spoiler]

AB = (-14|1|-4)

AC = (13|-5|1)

[/spoiler] 

ohne Gewähr! Rechne das mal nach und berechne dann mit den richtigen Zahlen das Kreuzprodukt

AB x AC

Answer 2

Mit Hilfe des Kreuzproduktes erhält man eine Normale auf der Ebene und mit Hilfe der Normalen die sog. Normalenform der Ebene. Die Normalenform skalar ausmultipliziert ist die Koordinatenform.

Answer 3

du hast die Richtungsvektoren

\(\overrightarrow{AB}\)  =  [-3, 2, -3] - [11, 1, 1]  =  [-14, 1, -4]

\(\overrightarrow{AC}\)  =  [24, -4, 2] - [11, 1, 1]  =  [13, -5, 1]

Deren Kreuzprodukt:  [13, -5, 1] ⨯ [-14, 1, -4]  =  [19, 38, -57]  = 19 · [1, 2, -3]

Deshalb kannst du den Normalenvektor  \(\vec{n}\) = [1, 2, -3]  nehmen

damit hast du die Normalenform  \(\vec{n}\) · \(\vec{x}\)  = \(\vec{n}\) · [11, 1, 1]

und damit die Koordinatenform  x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 10

Gruß Wolfgang

Comments

Wie kommt man auf die 10 am Schluss?

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[1, 2, -3] * [11, 1, 1]  = 1*11 + 2*1 + (-3)*1 = 10

Answer 4

  Deine Frage ist zweiteilig; du hattest nämlich schon einmal nach der grundsätzlichen Teorie gefragt:

https://www.mathelounge.de/530594/kreuzprodukt-was-sind-die-vorteile

     Hierin erkläre ich dir, was eine Determinante ist und warum man das so macht.  Um ein wort von meinem Chef zu zitieren, der das in anderem Zusammenhang gesäuselt hatte

   " Alle Schalauen machen das so; nur die Dummen machen es anders. "

   Weil wie ich dir schon sagte: Keine Gleichung; keine Unbekannten.  Doch unser Musiklehrer " Pauli "

   " Welchen Notenwert hat der Pauli? Halbe Note - hohler Kopf mit Hals ... "

    Pauli machte ja extrem viel Teorie mit den ganzen Tonleitern und so. Und dann kam immer

   " So. Das war die Teorie; und jetzt kommt die Praxis. "

   Ich muss mir jetzt also u, v und P0 besorgen für meine Determinante.

     P0  =  A  =  (  11  |  1  |  1  )           (  2.1a  )

     An sich ist egal, womit du anfängst - bloß manchmal ergeben sich halt rein zufällig Vereinfachungen.

      u  =  B  -  A  =  (  -14  |  1  |  -  4  )     (  2.1b  )

     v  =  C  -  A  =  (  13  |  -  5  |  1  )     (  2.1c  )

     Und jetzt alles in die Formel einsetzen

     det  (  u  ;  v  ;  P  -  P0  )  =        (  2.2a  )

             |     - 14            13            x - 11     |

      =     |         1           - 5             y - 1       |   =  0    (  2.2b  )

             |       - 4             1             z - 1       |

    Hier das ist sogar leichter wie die Mitternachtsformel. Eine Determinante ist nichts weiter als eine TABELLE ; und wenn du alle Einträge richtig hast in dieser Tabelle, gibt sie dir einen ZAHLENWERT zurück Sarrusregel: Hauptdiagonalen Minus Nebendiagonalen. Ich mach das jetzt ganz ausführlich

   det = [ 1 * 1 - ( - 5 ) * ( - 4 ) ] ( x - 11 ) + [ 13 * ( - 4 ) - ( - 14 ) * 1 ) ] ( y - 1 ) + [ ( - 14 ) * ( - 5 ) - 13 * 1 ] ( z - 1 )  =  0   (  2.3a  )

      -  19  (  x  -  11  )  -  38  (  y  -  1  )  +  57  (  z  -  1 )  =  0   |  :  ggt  =  19       (  2.3b  )

     Was ich immer predige: Auch gleichungen sind zu kürzen durch ihren ggt: bei mir würd's ja Strafpunkte hageln ohne Ende. Du wirst doch nicht im Ernst her gehen und 11 * 19 rechnen ... Außerdem drehe ich noch das Vorzeichen, weil ich der Konvention folge, dass x immer Plus sein muss.

      x  -  11  +  2  (  y  -  1  )  -  3  (  z  -  1  )  =  0     (  2.3c  )

    x  +  2  y  -  3  z  =  10    (  2.3d  )

   Von Wegen keine Pistole.  Ich mach's wirklich gerne; und noch keine Aufgabe habe ich ohne die Probe ins Netz gestellt.

  Noch zum Tema Kürzen; ich vertrete die unmaßgebliche Auffassung, dass die Ebene in ===> primitiver Form zu notieren ist.