+2 Daumen
370 Aufrufe

Potenzgesetze

Das Ergebnis, wenn man etwas potenziert, nennt man Potenz. Das Wort Potenz kommt von dem lateinischen Wort "potentia", was man mit "Macht" übersetzen kann.

Vermutung: Daraus ist dann auch der Begriff aus dem Englischen entstanden, nämlich "to the power of" (andere Ideen würden mich interessieren)

Potenzieren ist eine Art Zusammenfassung wie das Multiplizieren, nur, dass beim Multiplizieren Summanden eine bestimmte Anzahl miteinander addiert werden und beim Potenzieren werden Faktoren eine bestimme Anzahl oft miteinander multipliziert.

Bsp.: 23=2·2·2=8

Die Gesetze mit Herleitung

1. Gesetz  $$ {a}^{m}\cdot {a}^{n}={a}^{m+n} $$

Herleitung:

$$\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a \color{red} \cdot \color{red} a \color{red}. \color{red}. \color{red}. \color{red} \cdot \color{red} a → \text{m mal a}\\ \color{green} a \color{green} \cdot\color{green} a \color{green} \cdot\color{green} a \color{green} .\color{green} .\color{green} . \color{green} \cdot\color{green} a → \text{n mal a} $$

Das multipliziert man jetzt miteinander und dann sieht man, dass sich die Anzahl der "a´s" addiert. $$(\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a\color{red} \cdot\color{red} a \color{red} .\color{red} .\color{red}. \color{red} \cdot\color{red} a)\cdot (\color{green} a \color{green} \cdot\color{green} a\color{green} \cdot\color{green} a \color{green} .\color{green} .\color{green}. \color{green} \cdot\color{green} a)\\ \qquad\quad  \text{m}\qquad \quad +\qquad \text{n}$$

Das ist die Herleitung kurz gefasst und es ergibt: $$\underline{\underline{\boldsymbol{{a}^{m}\cdot {a}^{n}={a}^{m+n}}}}\\[25pt]\text{Bsp.:}\\[10pt]3^5\cdot 3^6\\[10pt](\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3 )\cdot (\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} )\\[10pt]{3}^{\color{red} 5+\color{green}6}\\[10pt]{3}^{11}=177147$$

2. Gesetz $$\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n}$$

Herleitung

Wieder die Überlegung von oben

$$\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a\color{red} \cdot\color{red} a \color{red} .\color{red} .\color{red}. \color{red} \cdot\color{red} a=>\text{m mal a}\\\color{green} a \color{green} \cdot\color{green} a\color{green} \cdot\color{green} a \color{green} .\color{green} .\color{green}. \color{green} \cdot\color{green} a=>\text{n mal a} $$

Jetzt dividiert man diese beiden Produkte miteinander und man sieht, dass man ganz viele "a´s" kürzen kann und es bleibt die Differenz stehen. wenn der Nenner mehr "a´s" hat, dann ist die Differenz negativ.

$$\\\frac{\color{red} a \color{red} \cdot \color{red}{\cancel{horizontalstrike}{a}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{a}}\color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{a}} \color{red} .\color{red} .\color{red}. \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{a}}}{\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{a}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{a}}\color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{a}} \color{green} .\color{green} .\color{green}. \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{a}}}$$Übrig bleibt jetzt noch die Differenz

Es ergibt sich also: $$\underline{\underline{\boldsymbol{\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n}}}}\\[25pt]\text{Bsp.:}\\[10pt]\\\frac{3^5}{3^6}\\[10pt]\frac{\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3}{\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3}\\[10pt]\frac{\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot}{\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}3}\\[10pt]\frac{\color{red}1}{\color{green}3}\\[10pt]{3}^{-1}$$

3.Gesetz$$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$$Herleitung$$\frac{\color{red} a\color{red}\cdot\color{red} a\color{red}\cdot\color{red} a\color{red}\cdot\color{red} a\color{red}.\color{red}.\color{red}.\color{red} a}{\color{green}b\color{green}\cdot\color{green} b\color{green}\cdot\color{green} b\color{green}\cdot\color{green} b\color{green}.\color{green}.\color{green}.\color{green} b}$$

Das kann man jetzt alles so aufteilen und erkennt dann, dass sich gewisse Faktoren wiederholen und somit n daraus entsteht, wie oft es diesen Faktor gibt:$$\frac{\color{red}a}{\color{green}b}\cdot\frac{\color{red}a}{\color{green}b}\cdot\frac{\color{red}a}{\color{green}b}\cdot\frac{\color{red}a}{\color{green}b}\cdot...\frac{\color{red}a}{\color{green}b}$$

Nun sind wir wieder bei dem Ergebnis:$$\underline{\underline{\boldsymbol{\left(\frac{a}{b}\right)^n}}}\\[25pt]\text{Bsp.:}\\[10pt]\frac{2^5}{4^5}\\[10pt]\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\cdot\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\cdot\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\cdot\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\cdot\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\\[10pt]\left(\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\right)^5\\[10pt]\frac{1}{32}$$


Das waren die ersten 3 Gesetze der Potenzrechnung. Es gibt natürlich noch mehr, aber das reicht meiner Meinung nach für einen Artikel erstmal.

Ich bitte in den Kommentaren um konstruktive Kritik, bezüglich der Inhalte und des Schreibstils.

Das Mitglied hat durch den Artikel 50 Bonuspunkte erhalten. Schreib auch du einen Artikel.
geschlossen: Mathe-Artikel
von Unknown
von 5,3 k

Interesting supposition.

Klingt plausibel.

Einzige Kritik wie auch schon erwähnt:

a^m/a^n ist ein Sachverhalt und kein Potenzgesetz

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Schön gemacht!

Deine Terme mit gestrichenen Zahlen, wie z.B.

$$\underline{\underline{\boldsymbol{\frac{a^m}{a^n}}}}\\[25pt]\text{Bsp.:}\\[10pt]\\\frac{3^5}{3^6}\\[10pt]\frac{\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3}{\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3}\\[10pt]\frac{\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot}{\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}3}\\[10pt]\frac{\color{red}1}{\color{green}3}\\[10pt]{3}^{-1}$$

wäre noch schöner, wenn du jeweils über die gestrichenen Faktoren eine 1 schreiben würdest. Den Unterschied zwischen 0 und 1 kann man nicht oft genug explizit machen.

Ausserdem gehört bei vielen Zeilen an den Anfang noch ein Gleichheitszeichen.

Dann gehört in einen nächsten Artikel noch die Verallgemeinerung auf nichtnatürlichen n, m und n-m.  Hast du hier n-m = -1 nicht einfach so eingeführt (ohne Vorwarnung und explizite Definition von Potenzen mit negativen Exponenten)?

Gefunden durch die Suche nach Potenzen hier https://www.matheretter.de/mathe-videos


und hier: https://www.matheretter.de/wiki/potenzgesetze-herleitung

Das Zweite ist aber nicht ohne Registration vollständig zu sehen.

von 7,6 k
+1 Daumen

Hallo Smitty,

Es ergibt sich also:  am / an   (2.Gesetz)

Von  am / an  gehst du doch aus.

Also ergibt sich  am-n

2. Gesetz:   am / an  =  am-n

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community