Stetigkeit von Funktionen

Question

Kann mir jemand bitte mit dieser Qufgabe helfen?

Comments

Bei (a) vielleicht \(\left\vert\dfrac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\vert\le\left\vert\dfrac{2xy}{\sqrt{y^2}}\right\vert\le\vert2x\vert\), falls \(y\ne0\).

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  Ich vergaß zu erwähnen - es gibt ja längst Software, die ein  3 D Gebirge mit verdeckten Kanten rausplottet.  Auch ich hab sowas mal geschrieben, als ich noch jung und hübsch war. Aber inzwischen müsste das ja längst online verfügbar sein.

   Weil ich kenn das aus eigener Erfahrung; eine Unstetigkeit wie im Falle b)  sieht in der Praxis immer so aus,  als wenn deine Funktion ein Gletscher ist, der im Ursprung  "  kalbt "

Answer 1

   a)  mach ich in Polarkoordinaten.

     x  =  r  cos  (  ß  )         (  1a  )

     y  =  r  sin  (  ß  )       (  1b  )

   Dann folgt ( mit dem ===> Sinusteorem )

   f  (  x  ;  y  )  =  f  (  r  ;  ß  )  =  r  sin  (  2ß  )      (  1c  )

    Der Winkel ist zwar beschränkt, hat aber im Ursprung keinen definierten Grenzwert.  Die Winkelabhängigkeit wird aber unterdrückt durch  r  ===>  0  ;  wirhaben Grenzwert  Null .

   In b setze ich als Steigungsmaß

     m  :=  y / x     (  2a  )

                                                        2 - m ²

   f  (  x  ;  y  )  =  f  (  m  )  =        -------------------           (  2b  )

                                                        3 m ² + 1

     Damit stellt sich ( 2b ) heraus als ( eindeutige ) Funktion von m ;   m ist  aber im Ursprung nicht definiert.

   Zur c) kann ich dir nur schreiben, was mir so einfällt.  Würd mich echt intressieren, wer bessere Ideen vorzuweisen hat.

   Ich seh grad;  du bist ja der " Maser "  Oder doch der Laser?  In seinem " Jim Knopf "  erfand ja Michael Ende den  "  Saser  "  (  "  Tal der Dämmerung  "  )   (  Ein " Laser mit Phononen harrt übrigens noch der Erfindung. )

   Najaa; ich meine.  Schreib mir halt mal, was dein Assistent  sülzt. Vielleicht hat der ja echt  eine brillante Idee. 

   Zunächst mal würde ich dein Ding umformen mit dem Sinusteorem:

 sin ( x y ² + x ² y ) =  sin ( x y ² ) cos ( x ² y ) + cos ( x y ² ) sin ( x ² y )      (  3a  )

    weil die Kosinusterme sind ja völlig unkritisch; die gehen gegen Eins.  Beschränken wir uns auf den ersten Term; auf den linkesten Sinusfaktor und führen wieder Substitution ( 2a ) durch:

                            sin ( x ³  m )

     lim  =  lim    --------------------------        (  3b  )

                          x ²  ( 1 + m  ²  )

     Die Klammer im Nenner ist wieder  völlig unkritisch und kann daher unberücksichtigt bleiben;    Grenzwert  ( 3b )  bilden wir mit der Krankenhausregel

                    sin ( x ³  m )

     lim        -----------------------    =         (   3c   )

                           x  ²

                 3 x  ²  m  + x  ³  ( dm/dx )

   =  lim   ---------------------------------------    cos ( ... )     (  3d  )

                             2  x

    Ich will das jetzt nicht mehr so ausführlich schreiben;  in ( 3d ) sieht man schon

   1)  Das x im Nenner kürzt sich weg

   2)  Der Kosinusterm geht gegen Eins.

   Per Saldo geht also deine Funktion gegen Null.

Comments

  Komisch; eben hat der meinen Kommentar nicht übernommen.  Mir fiel noch ein:  Plotte mal die b)   als 3 D Gebirge mit verdeckten Kanten raus.  Die Unstetigkeit im Ursprung verrät sich dann dadurch, dass die Funktion aussschaut wie ein  "  kalbender  Gletscher  "

Answer 2

Wähle Folgen x_n, y_n mir x_n=1/n y_n=a/n und berechne die GW für n->oo

oder gehe mit x=ay gegen o und x=ay^2 oder x=ax^2 usw. es muss immer derselbe GW rauskommen, damit die Fkt stetig ist.