Hallo Donald,
wie groß ist die Gesamtlänge der Spirale?
der 0'te Radius ist \(r_0=5\text{cm}\) und jeder weitere ist \(r_i = \frac45 r_{i-1}\). Mit \(h=r \cdot \pi\) für die Länge eines Halbkreises erhält man für die Summe \(s\) aller Halbkreise:
$$s = \sum_{i=0}^{\infty} r_i \cdot \pi = \pi \cdot r_0 \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac45 \right)^i = \pi \cdot r_0 \cdot \frac{1}{1 -\frac45} = 5\pi \cdot r_0 = 25\pi \, \text{cm}$$ siehe Geometrische Reihe.
Wie weit ist E von A entfernt?
Der Abstand \(|AE|\) ergibt sich aus der Reihe
$$|AE| = d_0 - \frac45 d_0 + \left( \frac45 \right)^2 d_0 - \left( \frac45 \right)^3 d_0 + \dots$$ wenn \(d_0\) der 0'te Durchmesser ist. Klammert man \(d_0\) aus und fasst jeweils zwei Summanden zu einem zusammen, so erhält man
$$|AE| = d_0 \left( \left( 1 - \frac45 \right) + \left( 1 - \frac45 \right)\left( \frac45 \right)^2 + \left( 1 - \frac45 \right)\left( \frac45 \right)^4 + \dots \right)$$ bzw. allgemein
$$|AE| = d_0 \left( 1 - \frac45 \right) \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac45 \right)^{2i} \\ \space = \frac15 d_0 \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{16}{25} \right)^i = \frac15 d_0 \frac{1}{1-\frac{16}{25}} = \frac59 d_0 = 5,\overline{5} \, \text{cm}$$
