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Gesucht ist der Betrag der Raumdiagonalen eines Quaders, der durch die Kanten a = |2*cos 20°| = 1.87938524... und b = |2*cos 120° +20°| = |2*cos 140°| = 1.53208888... und c = |2*cos 240° +20°| = |2*cos 260°| = 0.34729635... aufgespannt wird.

Aendert sich der Betrag der Raumdiagonalen, wenn Sie den "Basiswinkel" 20° durch 10° veraendern (also a = |2cos 10°|, b = |2cos 130°| und c = |2cos 250°| ) ? Ermitteln Sie die Raumdiagonale fuer von Ihnen gewaehlte Basiswinkel.

Wie verhaelt sich die Raumdiagonale, wenn Sie den Betrag der Kanten quadrieren ?
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1 Antwort

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f(x) = √((2·COS(x°))^2 + (2·COS(120° + x°))^2 + (2·COS(240° + x°))^2)
f(5) = √6 = 2.449489742
f(10) = √6
f(15) = √6
f(20) = √6

Wenn wir die Kanten quadrieren gilt
f(x) = √((2·COS(x°))^4 + (2·COS(120° + x°))^4 + (2·COS(240° + x°))^4)
f(5) = 4.242640687
f(10) = 4.242640687
f(15) = 4.242640687
f(20) = 4.242640687
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Toll !

Die Raumdiagonale für die 1. Potenzen dieser Kantenlängen ist Wurzel aus 6.

Die Raumdiagonale fuer die 2. Potenzen dieser Kantenlängen ist Wurzel aus 18.

Eine Herleitung ergibt sich aus den Formeln für

   cos (2x) = 2 (cosx)^2 -1 und

   cos (4x) = 8 (cosx)^4 -8(cosx)^2 +1

sowie den Formeln für das Additionstheorem

   cos (120° +x) = cos120° * cos x -sin 120° * sinx und

   cos (240° +x) = cos 240° * cos x -sin 240° * sin x

Dies führt dann bei den Kantenlängen in der 1. Potenz zu

     d^2 = 2cos(2x) +2cos(2x+240) +2cos(2x+480) +2 +2 +2

     = 2cos(2x) +2cos(2x+240) +2cos(2x +120)  +6 = 0 +6

Übrigens gelten die gleichen Raumdiagonalen auch für den Sinus, nicht nur für den Kosinus, obwohl die Formeln für die Mehrfachen des Sinus und das Additionstheorem anders aussehen. Da wir es dann aber mit Potenzen von sin^2-Werten zu tun haben, laesst sich einfach mit sin^2 = (1 -cos^2) rechnen.

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