bleibt das charakteristische Polynom bei Gauß Umformung gleich?

Question

Darf man eine Matrix (durch Gauß Umformungen) vereinfachen, bevor man das charakteristische Polynom von dieser ausrechnet, oder würde das das Ergebnis verändern?

Vielen Dank schonmal im Voraus für alle Antworten :D

Answer 1

Diese Frage kannst Du selber an einfachen Beispielen wie z.B. \({1\,1\choose 1\,1}\) und \({1\,1\choose 0\,0}\) untersuchen.

Answer 2

   Ganz einfaches Gegenbeispiel, das mir als Physiker unheimlich nahe liegt.  Mach dich mal schlau über ===>  Paulimatrizen, die quantenmechanische Darstellung des   ===>  Spins.

    H  :=  1|  +  S1  =          1      1               (  1   )

                                          1       1

     S1  ist wie gesagt eine der drei Paulimatrizen;  ihre Eigenwerte sind ( +/- 1 )  entsprechend  "  x Komponente des Spins = up oder down "

    Die  Einheitsmatrix vertauscht bekanntlich mit jeder Matrix, so dass H per Saldo  die beiden Eigenwerte hat  0  und  2  .

   Würdest du auf  H die Gauß Elimination anwenden, bekämst du doch sowas:

     H  '  =         1         1                 (  2  )

                        0         0

    Alternativ aus dem Rang oder der Determinante folgt ein Eigenwert  E1  =  0   ( Der Rang ändert sich ja nicht bei der Gauß-Umformung, obwohl der nichts zu tun hat mit der Vielfachheit des Eigenwerts Null. )

   Dann über  die  Spur  von  H  '   der zweite Eigenwert  E2  =  1  -  wie du siehst,  bleibt da nichts erhalten.