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Wir haben in der Schule als freiwillige Hausaufgabe

a) Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen ist 624

b)Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist 992

aufbekommen und wir sollen erklÀren wie wir drauf kommen und da kann man sich eine 1 verdienen die ich brÀuchte leider verstehe ich nicht wie ich das am besten erklÀren kann. Ich hoffe jemand kann mir dabei helfen und ich bedanke mich schonmal im vorraus. :)

von

5 Antworten

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Beste Antwort

Hallo

stelle die Gleichung auf:

x*(x+1)=992

Ausmultiplizieren:

x^2+x=992  |-992

x^2+x-992=0

quad. Gleichung lösen:

x1=-32

x2=31

31*32=992

GrĂŒĂŸe

von 12 k

Danke dir <3 könntest du mir die andsee auch noch lösen also die a) ? wÀre mega korrekt :)

Kannst du auch analog lösen, aber da musst du auch selbst etwas nachdenken:

x*(x+1)=624 
x^2+x-624=0

x1=-25.485≈26
x2=24.485≈24

26*24=624

x2+x-992  = 0  

tous les mĂȘmes

+3 Daumen

624 = 25^2-1 =... (warum?) ...= 24*26

von 15 k

Danke :) ich war der der es gepostet hat  habe mir aber gerade erst den Account gemacht. Bist der beste ich hoffe meine Mathe Lehrerin will das so sehen weil andere was mit x ausklammern gesagt haben da bin ich ĂŒbergfragt

Tja, das braucht man hier eher nicht. :-)

Kontrolle 3. Binom: 25^2 - 1^2 = (25-1)(25 + 1)

Hier die zweite Aufgabe:

992 = 32^2 - 32 = (32 - 1) * 32 = 31 * 32

Interessante Alternative!

ich hoffe meine Mathe Lehrerin will das so sehen weil andere was mit x ausklammern gesagt haben da bin ich ĂŒberfragt

Na ja, wenn SchĂŒler der 7. oder 8. Klasse ihre Aufgaben mit Methoden aus der 9. oder 10. Klasse lösen, werden sie vielleicht gefragt, wo sie diese Methoden denn her haben...

Du könntest eigentlich immer die Wurzel ziehen und das nĂ€chstgrĂ¶ĂŸere bzw. kleiner miteinander multiplizieren:$$\sqrt[]{624}≈ 24.97999199 \quad \text{also} \quad 26\cdot 24$$$$\sqrt[]{992}≈ 31.4960315 \quad \text{also} \quad 31\cdot 32$$

+2 Daumen

x*y=624

x-y=2

x=2+y

(2+y)*y=624

y^2+2y-624=0

y_(1,2)=-1±√(1+624)

y_(1,2)=-1±25

y_(1)=24

y_(2)=-26

Wir nehmen die 24.

x=2+24=26

24*26=624

von 20 k

Dankeschön ihr seid extrem hilfreich :)

+1 Punkt

992

Ziehe ungefÀhr die Wurzel:

30*30 = 900

√(992) ≈ 31.47

Somit ziemlich sicher 31 * 32 .

Kontrolle http://www.wolframalpha.com/input/?i=31+*+32

von 148 k
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  a)   die  quadratische Gleichung   (  QG )


      (  n  -  1  )  (  n  +  1  )  =  624        (  1a  )

      n  ÂČ  -  1  =  624  ===>  n  ÂČ  =  625  ===>  n  =  25    (  1b  )


     Es hĂ€ngt daran, wie gut dass du schon in Gleichungen bist ( und in Quadratzahlen. )  

   Hier habe ich   geschickt eine Symmetrie ausgenutzt   ( die den Kreuzterm unterdrĂŒckt )   Mit n = 25 lauten deine beiden Zahlen 24 und 26 

   Hinter der Aufgabe b)   erspĂ€he ich eine Symmetrie, die dein Lehrer ĂŒberhaupt nicht kennt. Willst du dir immer noch die Eins verdienen?   Ich lege ganz frech den RĂŒckwĂ€rtsgang ein und behaupte, die beiden Zahlen sind Wurzeln der   QG 


      x  ÂČ  -  p  x  +  q  =  0       (  2  )


    Bloß was jetzt kommt, ist Marke Sonderklasse. Als Erstes lege ich die Bedeutung der beiden Unbekannten fest. Sei n1 die kleinere und n2 die grĂ¶ĂŸere der beiden Zahlen.


     x1  :=  -  n1  ;  x2  :=  n2          (  3a  )


    Ich verkĂŒnde also ganz frech ex catedra, dass wir zwei Wurzeln mit entgegen gesetztem Vorzeichen erwarten.  Satz von  ===>  Vieta  das geschmĂ€hte Stiefkind


     p  =  x1  +  x2  =  n2  -  n1  =  1      (  3b  )


     Das ist nĂ€mlich genau mein Spezialtrick.   Da im Vieta   ( 3b )  "  Plus  "  steht, muss ich die kleinere Zahl zwangslĂ€ufig negativ rechnen.  Dann wird aber Vieta q


   q  =  x1  x2  =  -  n1  n2  =  (  -  992  )          (  3c  )

      f  (  x  )  =  x  ÂČ  -  x  -  992  =  0          (  4  )


      Du hast verstanden:  Obwohl die beiden Wurzeln entgegen gesetztes Vorzeichen haben, sind es doch vom Betrage her schon die BEIDEN Zahlen, die wir suchen. 

   Dein Lehrer hat auch keine andere Gleichung;  hör dir mal dem seine Schein-Rechtfertigungen an, warum dass hier zwei entgegen gesetzte Vorzeichen raus kommen.  Mein Daddy kannte da einen gei len Spruch ( Leider sehe ich mich außer Stande, das Zitat nachzuweisen. )

   "  Wissenschaftler sind Menschen, die komplizierten IrrtĂŒmern mit Begeisterung anhĂ€ngen ... "

    Naa; willst du dir immer noch die 1 verdienen?

       Es gibt so fernöstliche Meditationstechniken;  Eibes musste ich im Laufe meines Lebens schmerzlich erfahren: Die 1  kriegst du erst dann nachgeschmussen, wenn du sie nicht mehr begehrst.

   Nur der unabsichtlich abgeschossene Pfeil trifft ins Ziel.

   Und die Metode,  mit der ich ( 4 ) lösen werde, ist der  ===>  Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )   Ich wette mit dir, dass dein Schrat  NOCH NIE VOM SRN GEHÖRT HAT .

      Und? Willst du immer noch die Eins, ODER HAST DU ZIVILCOURAGE?

    Also ich hatte in Kl. 10d  mal einen Klassenkameraden; " Sigi "    Der sagte also unserer Frau Gumboldt, er  könnte ein bestimmtes Dreieck konstruieren, wovon die also keine Ahnung hat.     NatĂŒrlich hĂ€tte die sich mit ihm kritisch auseinander setzen können.

    1) Sie sagte, er solle den Mund halten.

    2) Als er darauf nicht schwieg, verpetzte sie ihn beim Direx.

    3)  Der Direx ordnete an, Klassenlehrer " Stass " solle ihm den eintrag verpassen

    " Siegfried P. ist geistesgestört ... "

   Ach ĂŒbrigens; die Behauptung, die du in Wiki findest,  der SRN sei eine   Entdeckung von Gauß,  stellt die bisher grĂ¶ĂŸte FĂ€lschung dar in der Matematikgeschichte.  Matematik kann ungeheuer aufregend und abwechslungsreich sein, mein Junge.

   Schönen Gruß von mir an deinen Lehrer ...

   Ach ĂŒbrigens.  Bist du noch im ===>  Enid-Blyton-Alter?  ===>  Dicki Kronstein? Weil der boxt sich ja zum BandenfĂŒhrer hoch, indem er behauptet,  im Matheunterricht an seinem Internat hĂ€tte er logisches Denken gelernt. Und dann kommt der immer so an

   " Erst letzte Woche haben mich meine Lehrer gelobt fĂŒr meine Noten in Matematik. "

   Damals mit Elf,  als das meine LektĂŒre war, war mir schon klar:  Kein Matematiker hat es nötig, ein Kind zu bewundern ...

   Amerika ist ja bekanntlich das Land der unbegrenzten Möglichkeiten.  Auf Youtube haben sie einen 10-jĂ€hrigen Knaben in Anzug und Krawatte gesteckt;  und der redet auch schon wie ein richtiger Student. Dann haben dem mal die Profs auf den Zahn gefĂŒhlt; hier der hat genau die selben Schwachpunkte wie jeder andere normale Student auch ...

   Also zurĂŒck zum  SRN .  Wenn du schon selber Wiki lesen kannst:  Die Aussage in ( 3c )  ist, wir mĂŒssen das Absolutglied 992 in seine sĂ€mtlichen  GANZZAHLIGEN Faktoren zerlegen. Beruhigend; schließlich suchen wir ja ganze Zahlen. Primfaktorenzerlegung war ja schon  dran;  du siehst:  Inzwischen hab ich  meine ( damaligen ) Dfizite lĂ€ngst aufgeholt ...


     992  =  2  Âł  *  124  =  2  Âł  *  2  ÂČ  *  31  =  2  ^  5  *  31   (  5  )


    Bei so vielen kombinatorischen Möglichkeiten lohnt sich das Ganze doch nicht.

    Doch x1;2 und damit n1;2 sind  TEILER  FREMD   .

    Woher weiß ich jetzt das wieder?  Machen wir erst mal fertig;  in unserem Fall sind n1 und n2 rein von der Aufgabenstellung ja schon Teiler fremd.  Aber es gibt einen allgemeinen, tiefer liegenden Grund.

   Teiler fremd heißt:  Du darfst das ZweierpĂ€ckchen niemals aufschnĂŒren; es gibt nur die triviale Zerlegung 992 = 1 * 992 so wie die nicht triviale 992 = 31 * 32 - und? Siehst du es schon?


    n1  =  1  ;  n2  =  992  ;  n2  -  n1  =  991      (  6a  )

    n1  =  31  ;  n2  =  32  ;  n2  -  n1  =  1        (  6b  )   ;  ok


   Wie war das jetzt mit dem ggt? Es gibt da erste Hinweise, dass der SRN entdeckt wurde von einem genialen  Amateur im Jahre 1975 .    Ich selbst erfuhr davon erst im Internet im Jahre 2011.    Noch in der selben woche machte ich mir so meine Gedanken, was bei einer QG  der ggt x1;2 sein könnte. Das findest du nicht in Wiki; und da ist seit 75 niemand vor mir hinter gekommen - " not bad ... "

   Sei m ein Teiler.   Dann  folgt abermals aus Vieta


    m  |  x1;2  <===>   m  |  p  ;  m  ÂČ  |  q     (  7a  )


    ein m, das die rechte Seite von ( 7a ) erfĂŒllt, möge K-Teiler des Polynoms  ( 4 ) heißen  " K " wie  " Koeffizient  "  Der grĂ¶ĂŸte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt . Unsere Behauptung in ( 4 )


    ggt  x1;2  =  gkt  (  f  )        (  7b  )


    also gut.   ErzĂ€hl mal deinem Lehrer, was der gkt ist.

   vielleicht kriegst du dann die 1 ...

von 5,5 k

Hallo habakuk,

Woher stammt eigentlich die Information, oder was widerlegt, das Gauß den SRN nicht entdeckt hat?

Übrigebs macht es mir viel Spaß deine Antworten zu lesen. Man spĂŒrt richtig, dass du Spaß an der Mathematik hast.

Lieber Anton;    als SchĂŒler hĂ€tte ich nie fĂŒr Möglich gehalten,  dass meine matematischen FĂ€higkeiten je ausreichen wĂŒrden,  eine FĂ€lschung aufzudecken. ZunĂ€chst einmal eine historische Einleitung.

   Die Aussage des SRN  wurde mir im Jahre 2011 zugetragen in einem ( heute nicht mehr existierenden ) Internetportal  von User  "  Ribek  "    Aktion  ===>  JĂŒrgen von Manger

   " Ich bin ein höflichen Menschen. "

      Die Aussage erschlug mich förmlich   gleich  der Erleuchtung, dem ===>  Satori des japanischen Zenbuddhismus.  Da ich gutglĂ€ubig bin, hielt ich Ribek fĂŒr den Entdecker -  das Ganze  war augenscheinlich noch völlig neu. Und so  begann ich denn, eigene InterbetbeitrĂ€ge zu  verfassen  unter Bezugnahme auf das  "  Ribekteorem "

   Ein Punkt, der hier keines Falls fehlen darf.    Eines Tages erhielt ich folgende ABMAHNUNG    von einem Administrator jenes   Forums:

   "  Uns ist bekannt geworden,  dass du ein Teorem diskutiert hast in einem Fremdforum,    das hier von UNSEREN USERN   entdeckt wurde  ( offensichtlich gemeint: das Ribekteorem. )    Entdeckungen unserer User sind GEISTIGES EIGENTUM DES FORUMS   und  urheberrechtlich geschĂŒtzt.  Unerlaubte Verbreitung ist mit Strafandrohung bedroht ... "

   So unhaltbar ( rein juristisch ) diese Behauptung ist. ( Bei Teoremen handelt es sich weder um Kunstwerke noch um Patente. )   Da doch die Moderatoren von der Richtigkeit ihrer Position ĂŒberzeugt schienen,  verstĂ€rkte dies meine Wahrnehmung, Ribek sei tatsĂ€chlich der Entdecker.

   Meine gelegentlichen RĂŒckfragen  bei Ribek selber jedoch,   ob er tatsĂ€chlich der Entdecker sei bzw. ob er einen Beweis veröffentlichen könne,  blieben Regel mĂ€ĂŸig unbeantwortet ...

   Wie gesagt;  Gauß wĂ€re der letzte, auf den ich damals verfallen wĂ€re. Zu jedem Portal gehören aber auch immer User, die selber Mathe StudienrĂ€te sind.  Jeder von ihnen  hĂ€tte schließlich  jenen Einwand vorbringen können  a la Feuerzangenbowle

   "  Hier dat hat  sooo'n Baat;  dat hat schon de jroße Jauß jesaht ... "

   "  Verzeihung Herr Professor;  schreibt man  '  Gauß '  mit  '  G  '  oder mit  '  J  '  ?  "

   "  Mit  '  Jee  '  meine Herren;  mit  '  Jee  ' ... "

   Nichts davon.   Da ich als SchĂŒler ja selber Mathelehrer genossen hatte, ĂŒberraschte mich nicht, was jetzt geschah.  NĂ€mlich gaaar nichts -  ich wurde schlicht und ergreifend ignoriert.

   NatĂŒrlich  mĂŒssen diese  Herren meine  BeitrĂ€ge gelesen haben.  Da aber der  SRN  offensichtlich nicht zu ihrem Curriculum gehörte,  vermieden sie es eher,  SchĂŒler innerhalb des Portals auf Lösungsstrategien  von mir hinzuweisen, die vom SRN Gebrauch machten.  Man kann sich leichtlich denken,  dass  sie diese Info auch vor ihren Klassen zurĂŒck halten, um nicht mit dem Lehrplan, dem Direx oder vorgesetzten Schulbehörden aneinander zu geraten ...

   Die Lage verĂ€nderte sich Grund legend,  als sich der ( ziemlich bĂ€rbeißige )  User  " Ascon "   in die Debatte einschaltete  - und mit seinem Beitrag gleichsam  den StudienrĂ€ten die  Kohlen aus dem Feuer holte.  Ascon beschimpft mich als "  Troll "   und hĂ€lt mir vor,  "  ein Ribekteorem habe es nie gegeben.  Die Aussage gehe nĂ€mlich auf Gauß zurĂŒck und schimpfe sich  SRN  "

    Ich war fassungslos - ja zornig, um ehrlich zu sein ( BegrĂŒndung wird nachgeliefert )   DAS konnte und wollte ich nun wirklich nicht glauben.  Doch fĂŒrs Erste ließ sich nicht widerlegen:  Nicht nur Wiki, sondern sĂ€mtliche Portale,  die den SRN zitieren,  bieten einen weit gehend Ă€hnlichen Wortlaut so wie diesen Bezug auf Gauß. Und jetzt folgt meine Philippika.

    ANTITESE    1

   ==================

       Jenes Wort des Augustinus

    "  Nimm und lies. "

    Ich meine Artin und v.d. Waerden  ( 1930 )  , Urgestein der Algebra, die  MaßstĂ€be gesetzt haben.  Wirf einen Blick in ihre BĂŒcher, ob die ĂŒberhaupt sowas wie den  SRN  kennen ...

    Übrigens:  Es gibt da eine Anekdote; Werner Heisenberg hat sie ĂŒberliefert,  der eng mit v.d. Waerden befreundet war und hĂ€ufiger Gast in dessen Seminaren.  Und zwar   geht Heisenberg mit v.d. Waerden eine Wette ein.  Zu verschiedenen ungelösten Fragen der Zahlenteorie behauptet Heisenberg  ( fiktiv und provokant )  er habe eine Beispielzahl gefunden,  die die Richtigkeit des ( vermuteten ) Teorems belege.  Nur eben - seine Beispielzahl sei 4 711-stellig und daher nur schwer zu veröffentlichen ...

     V.d. Waerden ganz cool

   " Gegen meine Erfahrung sind Sie  CHANCEN LOS . Ich finde immer  ein Testkriterium, warum Ihre Zahl, wie viele Stellen sie auch immer haben mag,    die Voraussetzungen des Teorems gar nicht erfĂŒllen KANN . "

    Und Heisenberg berichtet, er habe auch noch jede Wette verloren ...

    Ich meine nur.    Ich werde das GefĂŒhl nicht los;    wer immer gegen mich antritt mit der Behauptung, der SRN   gehe auf Gauß zurĂŒck, ist gegen mich Chancen los.


    ANTITESE   2

  =================

   Vielleicht wirst du  mir zustimmen, dass Wikis MatematikbeitrĂ€ge hoch professionell sind;  noch zu jedem Tema finde ich Verallgemeinerungen und Querverweise, die du in den gĂ€ngigen Unitexten vergebens suchst. Und hiergegen  fĂ€llt der SRN Artikel deutlich ab;   er wirkt geradezu pennĂ€lerhaft.  Keine Verallgemeinerungen; keine Verweise.  Man hat nachgerade den Eindruck,   es handelt sich um die Fleißarbeit eines Gymnasiasten,  der um die nĂ€chste Versetzung bangt ...

    Ich habe mir ja einen allgemeinen Eindruck verschafft; die  Schuld trifft ja Wiki nicht allein.   Wer immer den SRN ĂŒberhaupt zur Kenntnis nimmt, zitiert ihn - falsch.

    Hier die Aussage hat doch ĂŒberhaupt nur Sinn fĂŒr primitive Polynome  ( warum? )     Das Skandalon:  Alle Quellen  lassen ĂŒberein stimmend  Polynome mit gebrochenen  ( ! )  Koeffizienten zu.   Der professionelle Ansatz wĂŒrde lauten

    " Gegeben  sei ein primitives Polynom. "

    Getreu dem Wittgensteinschen Diktum, dem nachgerade die Matematiker verpflichtet sind:

   " Alles, was sich sagen lĂ€sst, lĂ€sst sich klar sagen. "

   Nimm doch jenes Teorem,  welches neuerdings  in den Rang eines Zwillingsbruders des  SRN   erhoben wurde; ich meine den Eisensteintest,    der ja nun unbestreitbar aus dem 19. Jh. stammt.  Und hier findest du die BeschrĂ€nkung auf primitive Polynome.

   Das lĂ€sst doch jetzt nur den einen Schluss zu:  Der  SRN  muss noch der Art neuen Datums sein, dass dieser Lapsus vor mir noch niemandem aufgefallen ist ...

   Halt wir sind lange noch nicht fertig.  Diese Ganzzahligkeits-Aussage des SRN  verlangt nĂ€mlich auf einmal nach einer neuen Definition.  Du musst sagen; ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive Form mit seiner Normalform ĂŒbereinstimmt.

   ( Normiert zu sein ist eine Eigenschaft des Polynoms selbst und nicht eine Eigenschaft einer seiner ( Ă€quivalenten ) Darstellungen. )

     Korollar zum SRN:  Ein normiertes Polynom kann wenn ĂŒberhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben.

   Es gibt ja zig Poynome; Minimalpolynom, separable Polynome - was weiß ich.   Aber von sowas wie einem normierten Polynom habe ich noch nie gelesen -   und das legt eben den Schluss nahe,  dass die KapazitĂ€ten  von einem  SRN  gar nichts wussten / wissen und ihn ĂŒberhaupt nicht berĂŒcksichtigten.  Und das spricht ganz sicher nicht fĂŒr Gauß ...

   ANTITESE  3

 ===================

    Wir wenden uns wieder mal dem leidigen Problem mit Wurzel ( 2 ) zu, das einfach nicht zur Ruhe kommen will. Schon die ollen Griechen sollen den Entdecker jener IrrationalitĂ€t  im Meer versenkt haben, um Poseidon zu besĂ€nftigen ...

   Den kanonischen Beweis lernte ich mit 13 ( 1964 )   erst aus einem Buch kennen und hernach  aus dem Telekolleg. Schwachpunkt dieses kanonischen Beweises ist es, mit der bloßen MÖGLICHKEIT    zu liebĂ€ugeln,  2 ^ 1/2 könne so etwas sein wie ein Bruch p / q -  im eindeutigen GEGENSATZ    zu der Aussage des  SRN  . 

   Auf einer Youtube Site findest du untereinander von ein und dem selben Prof die Videos

    " Warum  2  ^  1/2  irrational ist. "

    " Warum  3  ^  1/2  irrational ist. "

  " Warum  5  ^  1/2  irrational ist. "

    " Warum  7  ^  1/2  irrational ist. "


   Hier spricht ein amerikanischer ( ! )  top ( ! )  Wissenschaftler,  dem das allgemeine Prinzip ĂŒberhaupt nicht klar ist - weil er noch nie vom SRN  gehört hat.

   " Nicht fĂŒr die Schule; fĂŒr das Leben lernen wir. "

   Der Beweis per  SRN  , dass  4 711 ^ 1 / 123   notwendig irrational,  wĂŒrde sich also allen SchĂŒlern lebenslang einprĂ€gen ...  Und hĂ€tte Gauß dieses Teorem wirklich entdeckt,  wĂ€re genug Vorlaufzeit gewesen, das Curriculum umzustellen.  Das Problem liegt ja gerade dort begraben,  dass alle TextbĂŒcher umgeschrieben werden mĂŒssen und eine völlig neue Didaktik ins Leben gerufen werden muss ...

   ANTITESE  4

  ==============

    Man darf die Dinge ja auch nicht isoliert sehen.   Wiki ( und auch sonst niemand )  sieht den SRN in Bezug auf  irgendetwas.  Dabei gelangen mir bereits im Jahre 2011 in jener Woche, als ich vom SRN erfuhr, drei Entdeckungen. Vom  gkt eines Polynoms war hier ja schon die Rede.  Und Gauß?  Gauß ist doch der TeilerfĂŒrst, der Teilbarkeitseigenschaften entdeckte, die unsereins nicht mal versteht.  Dass ausgerechnet ein Gauß an diesem gkt vorbei geschlittert sein soll,  erscheint dann doch mehr als rĂ€tselhaft.

  ( max Zeichen )

  ( Fortsetzjg und Schluss;  Antitese 4 )

Dazu kommt noch eine ganz Grund legende Aussage, auf die ich zunĂ€chst rein empirisch stieß:

   Sei wieder  p ( x )  wie ĂŒblich  ein primitives Polynom und x0 := p0 / q0 € |Q   eine seiner Wurzeln, die wir als gekĂŒrzt voraus setzen wollen.  Dann ist die von  x0 generierte Hornerfolge  GANZZAHLIG .

    Und hier nun ist  ABSOLUT UNGLAUBHAFT ,  dass das in der ganzen langen Zeit seit Gauß vor mir noch niemandem aufgefallen sein soll ...  Aber  es gibt einen zureichenden  Grund,   warum sich niemand je mit dieser Frage auseinander gesetzt hat.

    In der gesamten Literatur fiel es niemandem ein, Bruchzahlen in Polynome einzusetzen.  Es entspricht meinem Eindruck;  denn schließlich habe ich mich im Diplom gemeldet fĂŒr Galoisteorie.

    Meine dritte   Entdeckung schließlich ist fĂŒr SchĂŒler sehr Wert voll; eine Probe auf quadratische Gleichungen  ( QG )  , die auch didaktisch den Vorteil bietet,  QG  nach dem bei SchĂŒlern so beliebten   Knobelverfahren einzufĂŒhren - vergessen wir nicht:  Die Mitternachtsformel ist kontra-intuitiv.


     ZERLEGUNGSSATZ  fĂŒr  QG

   ============================

   Sei 


           p  (  x  )  :=  a2  x  ÂČ  +  a1  x  +  a0     (  2.1  )


     ein primitives Polynom  und seine Wurzeln


     x1;2  :=  p1;2 / q1;2  €  |Q       (  2.2  )


     wie ĂŒblich als gekĂŒrzt voraus gesetzt.  Dann gelten die beiden Habaakuk pq-Formeln


     p1  p2  =  a0      (  2.3a  )

     q1  q2  =  a2      (  2.3b  )


     =================================


    Es ist schlechter Dings nicht mehr nachvollziehbar, wie Gauß, sollte er denn wirklich  wie behauptet den SRN entdeckt haben, dieser Zusammenhang  ( 2.3ab )  verborgen geblieben sein kann.

   Ironie des Schicksals;  der Beweis  von ( 2.3ab )  argumentiert mit einer Verallgemeinerung jener Strategie, wie wir sie von dem traditionellen  Wurzel ( 2 ) Beweis gewont sind ...   ( Hier sollen ja wirklich BrĂŒche begrĂŒndet werden. )

  Tut mir Leid; ein PS hĂ€tte ich ja beinahe vergessen.  Literaturzitate gehen zurĂŒck bis ins Jahr 1990,  welches ich denn auch fĂŒr das wahrscheinliche Entrdeckungsjahr hielt  ( Niemand zitiert etwa v.d, Waerden; schon auffĂ€llig. )

   Da erreicht mich ein Kommentar  von User " Medicopter " / Mainz hier auf Matelounge.

    "    Nach den mir vorliegenden Zitaten wurde der SRN  spĂ€testens 1975 entdeckt.  Das Gauß der Urheber sei, habe  ICH  nie behauptet.  "

    So argumentiert doch nur jemand,  der - na sagen wir mal -  sich dahin gehend mstimmen ließ,  Vorsicht ist die Mutter der Porzellankiste;  irgendwas ist wohl doch nicht ganz koscher an diesem Gauß ...

Ich finde, dass sich der mit  Satz ĂŒber rationale Nullstellen  sehr interessant anhört

Du hörst dich, von deiner Sache, auf jeden Fall sehr ĂŒberzeugt an. Sei mir nicht böse, wenn ich jetzt nicht alles nachvollziehen kann.$$p(x)=\frac{1}{5}x^3-\frac{7}{30}x^2+\frac{1}{30}$$ Wenn ich folgendes rationale Polynom mit 30 multiplizire erhĂ€lt man das ganzzahlige Polynom$$p(x)=6x^3-7x^2+1$$ Dessen rationale Nullstellen mĂŒssen dann in der Menge$$\pm 1, \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}$$ Und wenn man das jetzt ĂŒberprĂŒft:$$p(0.5)=6\cdot 0.5^3-7\cdot 0.5^2+1=0$$ Stimmt also! Wie kann ich denn die Menge bestimmen, in der die Nullstellen erhalten sein mĂŒssen?

            Danke  " Quadratwurzel  "   fĂŒr deine liebe  Anfrage.  Kennst du noch?  Tom Sawyer  ( kann lesen ! )  zu seinem Freund Huck Finn

    "  Du weißt gar nicht, was dir entgeht, wenn du nicht lesen kannst. Was wĂŒrdest du z.B. machen,  wenn dich jemand fragt

   '  Pallee wuh Frang ZĂ€h? ' "

   "  Ich wĂŒrd ihm erst mal eine in die Fres sehauen. "

   " Aber er hat dich doch bloß gefragt, ob du Französisch kannst. "

     " Warum hat er es dann nicht gesagt? "

    Folgende Ratestrategie.   Bei einem kubistischen Polynom stellen sich drei Alternativen:

    1)  Es ist das Minimalpolynom seiner Wurzeln.

     2) Es spaltet einen rationalen Linearfaktor ab.

     3) Es zerfĂ€llt vollstĂ€ndig.

     Ich gehe mit dem Ansatz 3) in dein Polynom; denn nur dann habe ich echt eine Chance.

      Bei QG   hast du doch Vieta q = x1 x2  . In dieser Gleichung könnte x2 zunĂ€chst alles sein.   Dagegen ( 2.3ab )  " quantisiert  "  die Lösung;  es stellt eine VerschĂ€rfung von Vieta dar.  x1 und x2 können nĂ€mlich nicht alles sein; es ĂŒberleben nur endlich viele Kandidaten.

   Genau so hier.  ZunĂ€chst mal notiere ich die Normalform deines Polynoms -  wir brauchen es dann spĂ€ter ohnehin.


    p  (  x  )  :=  x  Âł  +  a2  x  ÂČ  +  a1  x  +  a0       (  3.1a  )

         a2  =  (  -  7/6  )  ;  a1  =  0  ;  a0  =  1/6      (  3.1b  )


    Vieta  a0  wĂ€re doch nichts weiter als die Bedingung


     a0  =  -  x1  x2  x3       (  3.2  )


    Dagegen in der primitiven Form  (  PF  )  


    p  (  x  )  :=  b3  x  Âł  +  b2  x  ÂČ  +  b1  x  +  b0      (  3.3a  )

      b3  =  6  ;  b2  =  (  -  7  )  ;  b1  =  0  ;  b0  =  1      (  3.3b  )


    Wir wollen ĂŒbrigens verabreden, dass die Koeffizienten der Normalform  a_i  heißen und bei PF  b_i .

   Analog ( 2.2;3ab ) verschĂ€rft sich hier  ( 3.2 )  zu


    x1;2;3  :=  p1;2;3 / q1;2;3    €    |Q         (  3.4a  )

      p1  p2  p3  =  -  b0  =  (  -  1  )          (  3.4b  )

     q1  q2  q3  =  b3  =  6            (  3.4c  )


   Ich gehe also ĂŒber die bisherigen TextbĂŒcher hinaus, indem ich eine Beziehung stifte zwischen den drei Wurzeln. Einsatz der cartesischen Vorzeichenregel ( CV )  scheint aber geboten, um die kombinatorische Anzahl an Möglichkeiten drastisch zu verringern.

   " Einmal Minus; zwei Mal Plus. "


           x1  <  0  <  x2  <  =  x3         (  3.5  )


    In Wirklichkeit hat unser Ansatz mit der CV bereits die erste HĂŒrde genommen;  der dritte ist nĂ€mlich der kleinste Polynomgrad, wo du ein Gegenbeispiel konstruieren kannst, das  allein auf Grund der CV  gar nicht zerfallen kann.   Diskriminante ist dann Vieta  a2  in   (  3.1ab  )


       a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )         (  3.6  )


        Eine vernĂŒnftige Ratestrategie wird auf die einzelne negative Wurzel setzen:


 x1 = ( - 1 ) ; x2 = 1/6 ; x3 = 1 ===> a2 = ( - 1/6 )   ( 3.7a )

x1 = ( - 1 ) ; x2 = 1/3 ; x3 = 1/2 ===> a2 = 1/6   ( 3.7b )

x1 = ( - 1/2 ) ; x2 = 1/3 ; x3 = 1 ===> a2 = ( - 5/6 )  ( 3.7c )

x1 = ( - 1/3 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 1 ===> a2 = ( - 7/6 ) ( 3.7d ) ; ok

x1 = ( - 1/6 ) ; x2;3 = 1 ===> a2 = ( - 11/6 )     ( 3.7e )


   Jetzt wird es eng; du musst nur noch Vieta a1 ĂŒberprĂŒfen als hinreichende Bedingung.


    a1  =  (  x1  +  x2  )  x3  +  x1  x2        (  3.8  )

Hallo habakutibatong,

Ich heiße immer noch Anton ;). Ich werde mir das mal am Wochende ansehen. Ich denke, dass ich dafĂŒr viel Zeit brauche, um es nachvollziehen zu können.

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