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Hallo!

Also ich habe folgende Formel gefunden, die die graphische Bedeutung des Vektorprodukts veranschaulicht: Ich verstehe nicht wieso der Betrag des Vektorprodukts aus a und b gleich dem Produkt ihrer Längen mal sinus (phi) ist. Wie kann man sich das erklären, dass dieser Zusammenhang gilt? Aus der Abbildung werde ich leider nicht schlau. Wann kann man diese Formel ausnutzen?

\( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right) \) und \( \vec{b}=\left(\begin{array}{l}{b_{1}} \\ {b_{2}} \\ {b_{3}}\end{array}\right) \) definiert als

\( \overrightarrow{\boldsymbol{a}} \times \overrightarrow{\boldsymbol{b}}=\left(\begin{array}{l}{a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}} \\ {a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}} \\ {a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\end{array}\right) \)


Der dadurch erhaltene Vektor \( \overrightarrow{\boldsymbol{c}} \) steht auf \( \overrightarrow{\boldsymbol{a}} \) und \( \overrightarrow{\boldsymbol{b}} \) senkrecht \( (\overrightarrow{\boldsymbol{c}} \perp \overrightarrow{\boldsymbol{a}} \text { und } \overrightarrow{\boldsymbol{c}} \perp \overrightarrow{\boldsymbol{b}}) \)
Er hat die Länge \( |\vec{c}|=|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot \sin (\varphi), \) wobei \( \varphi \) der Winkel ist, den \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) aufspannen. Dies entspricht dem Flächeninhalt des von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) aufgespannten Parallelogramms.

blob.png

von

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Du findest eine Herleitung unter

http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/S2/Kap12_Vektorprodukt/Kap12_Vektorprodukt.html

Nützlich ist es z.B. Flächen von Parallelogrammen oder Dreiecken mit dem Kreuzprodukt zu berechnen.

Man kann auch das Volumen eines Spats sehr einfach mit dem Spatprodukt berechnen. Das Spatprodukt besteht zum einen aus dem Kreuzprodukt.

Das Kreuzprodukt lässt sich aber auch gut gebrauchen um den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu bestimmen.

von 387 k 🚀

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