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f(x)=2*(x-1)^2*(x+2)^3*(x+3)

wie sieht der Graph aus

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  Und wenn ihr noch so heult - ich geb dem Matecoach Recht.

   Ableiten is noch lange nich; jede Kurvendiskussion hat zu beginnen mit der Asymptotik,  damit du aus dem Slalom allererst auf die Lage der kritischen Stellen schließen kannst. Ich weiß; das führt immer wieder zu Protesten eurerseits.

   Asymptotisch kommt das ( gerade ) Polynom von  (  +  °° )  ; gleich bei x1  =  (  -  3 )   hast du einen VZW   von Plus nach Minus .  Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

   "  Eine  ( mehrfache ) ungerade Nullstelle so wie hier die 3-fache   x2;3;4  =  (  -  2  )    ist immer ein  ===>  Terrassenpunkt  ( TP ) "

    In dem  TP  hast du natürlich abermals einen VZW   von Minus ach Plus -  in dem Intervall ( x1 , x2 ) erwarten wir ein Minimum so wie einen WP .

   Abermals für FRS

   " Eine gerade Nullstelle so wie x5;6 = 1 ist immer ein lokales  Extremum. "

   Wir hatten gesagt, auf dem Intervall ( x2 ; x5 ) ist unsere Funktion positiv.  Dann muss sich dort ein Maximum verstercken, abermals flankiert von zwei WP.  Und was x5 anbetrifft:  Da das Polynom asymptotisch verschwindet nach ( + °° ) , muss das  RECHTESTE  Extremum immer ein  MINIMUM  sein.

   Es ergibt sich somit folgender Slalom


  ( - 3 ) < x ( min ) < x1 ( w ) < ( - 2 ) <      (  1a  )

  <  x2 ( w ) < x ( max ) < x3 ( w ) < 1      (  1b  )


  Die erste Ableitung bilden wir mittels ===>  logaritmischem Differenzieren, einer Sonderform des  ===>  impliziten Differenzierens.  Bekanntlich verringert Logaritmus die Rechenstufe um Eins.

   Ach übrigens;  die Ausrede  " giltet nix "

  " Ich weiß nicht, was die Ableitung von Logaritmus ist; da hab ich grade gefehlt. "

    Aus dem Telekolleg weiß ich nämlich, dass Logaritmus DEFINIERT  iat als die Aufleitung der Normalhyperbel; eine Definition kannst du nicht begründen.


  ln ( y ) = 2 ln ( x - 1 ) + 3 ln ( x + 2 ) + ln ( x + 3 )     (  2a  )

   y ' / y = 0 = 2 / ( x - 1 ) + 3 / ( x + 2 ) + 1 / ( x + 3 )   (  2b  )


   Hier die Berliner  kennen doch den Spruch

   " Dir hamse wohl mi'n Klammersack jepudert. "

   Das richtet sich gegen alle, die eigene Anstrengungen unternehmen, ihre Klammern ohne Wolframs Hilfe aufzulösen. Wolfram findet


     6  x  ²  +  17  x  +  1  =  0     |   NF     (  3a  )

        x  ²  +  17/6  x  +  1/6  =  0    |    MF    (  3b  )

   x ( min | max ) = 1/12 [ - 17  -/+  sqr  ( 265 )  ]     (  3c  )


   Nein ich bin nicht so tolerant wie eure Lehrer;  der  TR  bleibt in der Schublade.  Ungleichung ( 1ab ) werden wir alleine mittels Zahlen teoretischer Abschätzungen herleiten.  Dass x ( max  )  kleiner Eins, ist schon mal trivial klar;  in Polynom ( 3a ) hast du einen Entartungsfall der cartesischen Vorzeichenregel.

   Hier wie soll denn die Summe aus drei positiven Termen je Null werden?

   Beide Extremata sind damit negativ und erst recht kleiner Eins.

   Dann verbleibt noch


       2  <  |  x  (  min  |  <  3      (  4a  )

    2  <  1/12 [  17  +  sqr  (  265  )  ]  <  3     |   *  HN    (  4b  )

   24  <  17  +  sqr  (  265  )  <  36    |   -  17     (  4c  )

     7  <  sqr  (  265  )  <  19      (  4d  )

  7  =  sqr  (  49  )  <  sqr  (  265  )  <  sqr  (  361  )  =  19   ;  ok   (  4e  )


   Aus der ( unbewiesenen ) Behauptung ( 4a )  haben wir die wahre Aussage  ( 4e ) abgeleitet; ist eine solche Vorgehensweise noch korrekt? Ja; denn Ungleichung ( 4a ) wurde ausschließlich ===>  Äquivalenzumformungen unterworfen.

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Du sollst den Graphen sicher nicht zeichnen sondern nur skizzieren. Dem Lehrer geht es dabei nur um die Nullstellen und dem globalen Verlauf.

Du hast eine Funktion 6. Grades die von links oben nach rechts oben verläuft.

Bei der Nullstelle -3 schneidet der Graph fallend die x-Achse.

Bei der Nullstelle -2 (dreifach). hast du einen Sattelpunkt.

Bei der Nullstelle 1 (zweifach) hast du einen Extrempunkt also Tiefpunkt.

~plot~ 2*(x-1)^2*(x+2)^3*(x+3);[[-4|4|-4|50]] ~plot~
von 387 k 🚀

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