Entfernung eines Baseballs mit quadratischer Funktion bestimmen

Question

Momentan versuche ich, folgende Aufgabe zu lösen:

Die Flugbahn eines Baseballs wird vereinfacht mit y=x-0,0015x² +2 dargestellt, wobei y die Höhe des Balles und x die horizontale Entfernung zum Schlagmann angibt (jeweils in feet). Die Fragestellung lautet: "Wie weit ist der Ball horizontal vom Schlagmann entfernt, wenn er 90 feet hoch fliegt?"

Als Lösungsansatz habe ich für y 90 eingesetzt. Muss ich die "+2" aus der Funktionsgleichung auch einbeziehen? Wie geht die Rechnung dann weiter? Ich bin mir da total unsicher, weil ich so krumme Zahlen herausbekomme.

für eure Hilfe! 

Answer 1

 

Dein Ansatz ist richtig!

y = x - 0,0015x² + 2

oder besser

f(x) = -0,0015x² + x + 2

Du hast für f(x) = 90 eingesetzt, also ergibt sich (die "+2" gehören zur Funktionsgleichung dazu, deshalb werden sie übernommen) :

-0,0015x² + x + 2 = 90

Auf beiden Seiten 90 subtrahieren:

-0,0015x² + x - 88 = 0 | : -0,0015

x² - 666 2/3 * x + 58666 2/3 = 0

p-q-Formel: 

x_1,2 = 333 1/3 ± √((333 1/3)² - 58666 2/3) = 1000/3 ± √(1.000.000/9 - 528000/9) ≈

1000/3 ± 687,02/3

x₁ ≈ 562,34

x₂ ≈ 104,33

Der Ball erreicht also eine Höhe von 90 feet nach etwa 104,33 feet, steigt dann weiter auf und sinkt wieder: Bei ca. 562,34 hat er erneut eine Höhe von 90 feet. 

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank fürs Antworten!

Jetzt hab ich den Rechenweg verstanden, ihr habt das echt gut erklärt (offensichtlich besser als mein Mathelehrer :D).

Ich wünsche euch dann mal noch einen schönen Abend :-)

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Klasse, das freut uns!

Auch Dir noch einen schönen Abend :-)

Answer 2

Hi,

der Ball wird vom Boden aus gemessen. Es geht ja um die reale Höhe.

Das wäre also

90 = x-0,0015x^2+2

Da Du sagtest, Du hast es bereits gelöst, lass uns die Ergebnisse vergleichen. Meiner Meinung nach gibt es da zwei Möglichkeiten.

x₁ = 104,33

x₂ = 562,34

 

Das kannst Du bestätigen?

 

Grüße

Answer 3

Dein Ansatz ist richtig, du musst in der Gleichung für die Flugbahn y durch 90 ersetzen. Es ergibt sich:

90 = x - 0,0015 x ² +2

Diese quadratische Gleichung ist nun nach x aufzulösen, dazu zunächst etwas umformen:

<=> 0,0015 x ² - x = - 88

Nun durch 0,0015 dividieren:

<=> x ² - 666 2/3 x = - 58666 2/3

Quadratische Ergänzung berechnen und auf beiden Seiten addieren:

<=> x ² - 666 2/3 x + ( 333 1/3 ) ² = ( 333 1/3 ) ² - 58666 2/3 = 52444 4/9

Die linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel zusammenfassen:

<=> ( x - 333 1/3 ) ² = 52444 4/9

Wurzel ziehen:

<=> x - 333 1/3 = +/- √ 52444 4/9

<=> x = +/- √ 52444 4/9 + 333 1/3

=>  x1 = - √ 52444 4/9 + 333 1/3 = 104,33 ft (gerundet) ; x2 = √ 52444 4/9 + 333 1/3 = 562,34 ft (gerundet)

Es gibt also zwei Stellen in der Flugbahn, an denen die Höhe des Balles 90 ft beträgt, nämlich in etwa 104,33 ft Entfernung vom Schlagmann (aufsteigende Flugbahn) und in etwa 562,34 ft. Entfernung vom Schlagmann.

Hier ein Schaubild der Flugbahn. Die blaue Parallele zur x-Achse ist die Höhe 90 ft. :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=90+%3D+x+-+0.0015+x%5E2+%2B2

Comments

Hallo JotEs,

ich finde das nett, dass du dir die Mühe gemacht hast, auch noch die passende Parabel zur Aufgabe hinzuzufügen. Das war echt praktisch :-)