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Hi Leute, kann jemand mir dringend bei diese Aufgaben mir helfen. Danke.


Verwenden Sie das Cauchyprodukt, um die folgenden Aussagen zu beweisen:

(a) Ist ∑n=0 anxn eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ > 0, so hat die Potenzreihe ∑n=0 (a0 + a1 + . . . + an)xn
mindestens Konvergenzradius min{1,ρ}. Innerhalb des Konvergenzradius gilt :
Xn=0(a0 + a1 + . . . + an)x=1 / 1 − x ∑n=0 anxn.

Tipp: Schreiben Sie 1 /1−x als geometrische Reihe.

(b) Für y ∈ (−2, 0) gilt ∑n=0  (n + 1)( y + 1)n =1 / y2

Gefragt von

Vom Duplikat:

Titel: Mit Cauchyprodukt eine Aussage beweisen

Stichworte: cauchy,potenzreihe,cauchyprodukt

Hallo zusammen,

kann mir jemand bei diesem beweis helfen?

VG7tkWflc.png

Vom Duplikat:

Titel: Cauchyprodukt und Konvergenzradius

Stichworte: cauchy,reihe,produkt,potenzreihe,konvergenz

Verwenden Sie das Cauchyprodukt, um die folgenden Aussagen zu beweisen:
(a) Ist P∞
n=0
Bildschirmfoto 2018-05-16 um 17.45.39.png an x
n
eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ > 0, so hat die Potenzreihe P∞
n=0
(a0 + a1 + . . . + an
)x
n
mindestens Konvergenzradius min{1,ρ}. Innerhalb des Konvergenzradius gilt
X∞
n=0
(a0 + a1 + . . . + an
)x
n =
1
1 − x
X∞
n=0
an x
n
.
Tipp: Schreiben Sie 1
1−x
als geometrische Reihe.
(b) Für y ∈ (−2, 0) gilt P∞
n=0
(n + 1)( y + 1)
n =
1
y
2
.

1 Antwort

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Es gilt

$$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \cdot \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \cdot \sum_{n=0}^\infty x^n = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k \right) x^n  $$ anwenden der Formel für das Cauchyprodukt.

Damit gilt für den Konvergenzradius \( r = \min(1,\rho) \)

Beantwortet von 23 k

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