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Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
6x1 +31x2 -ax3= -223

1x1 +5x2 +1x3 = -31

-1x1 -5x2 +bx3 = c

Für welche Parameter b und c hat das Gleichungssystem mehr als eine Lösung?

von

2 Antworten

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2. plus 3. Gleichung gibt

(b+1)*x3 = c-31

Das hat mehr als eine Lösung für x3, wenn

b=-1 und c=31  ist.

von 228 k 🚀
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    Du hast doch immer diese Aussage

    "  Allgemeine Lösung des LGS = ===>  Kern +  Sonderlösung "       (  1  )  


      In diesem Sinne; bestimmen wir erst mal den Kern.


      6  x1  +  31  x2  -  a  x3  =  0    |  :   x3          (  2a  )

          x1  +    5  x2  +     x3  =  0    |  :  x3           (  2b  )

          x1  +    5  x2  -  b  x3  =  0    |  :  x3          (  2c  )


    Hier führe ich meinen Divisionstrick Marke Eigenbau vor.  Damit erschlägst du gleich vier Probleme auf einen Streich; aber  nur selten so wie hier wird die volle Power hinter  diesem Verfahren deutlich.  So lange sich nämlich das Vorkommen dieser Parameter auf eine Spalte ( hier: die 3. ) der Koeffizientenmatrix  (  KM  )  beschränkt,  spielt es keine Rolle, wie viele Parameter ( So lange es endlich viele sind. )  Du kannst auch in jeder Zeile der KM  eine andere  Funktion der Parameter haben;  Polynom, transzendent, Sinus, Kosinus - alles was das Herz begehrt.  Die o.e. vier Problemata sind

   1)   Du ersparst dir das null Setzen der Determinante.

   2)  Sämtliche Parameter abhängigen ( nicht konstanten ) Elemente fliegen aus der KM heraus.

  3) Trotz der Division bleibt das GS linear, weil ja rechts null steht.

   4) Die Anzahl der Unbekannten verringert sich auf Zwei, und zwei Unbekannte gelten als beherrschbar.

   Ich führe die neuen Unbekannten ein


    X1  :=  x1 / x3  ;  X2  :=  x2 / x3     (  3  )


   Dann lauten ( 2a-c )


     6  X1  +  31  X2  =  a                                (  4a  )

         X1  +    5  X2  =  (  -  1  )   |  *  6           (  4b  )

        X1  +    5  X2  =  b                                 (  4c  )


   Die Nummerierung ( a-c ) behalte ich kosequent bei, damit du dich zurecht findest. Und in ( 4b:c ) passiert jetzt etwas Sonderbares.  Der Kern einer Matrix ist doch nie leer; er enthält mindestens die Null.  Aber dieses  b  in ( 4c ) ist doch ein freier, sprich frei wählbarer Parameter.  Aber wenn ich geruhe, für b etwasd andreas zu setzen als Minus Eins, dann widersprechen sich ( 4bc )  ===> keine Lösung.  What is sere loose?

   Eine kleine Tücke verbirgt sich schon hinter meinem Divisionstrick; Division durch x3 ist natürlich nur dann zulässig, wenn es eine Lösung gibt mit x3 > 0   . Aber zum Glück können wir Entwarnung geben;  so bald du nämlich x3 = 0 setzest in ( 2a-c )  , erweisen sich bereits ( 2ab ) als linear unabhängige Bedingungen.

   Wir müssen das offenbar so auffassen:  Notwendige Bedingung für singuläres  LGS   ist b = ( - 1 )  ; für alle anderen b-Werte  hast du einen trivialen Kern und damit ein eindeutig lösbares LGS .

   Wir entscheiden uns für das Subtraktionsverfahren ( 4a ) - ( 4b ) ; den Umformungsschritt habe ich wie üblich vermerkt und erhalten


          X2  =  a  +  6     (  5a  )


     Dies eingesetzt in ( 4ab )


    X1  =  -  (  5a  +  31  )         (  5b  )


    und damit der Kern


    Kern  =  [  -  (  5  a  +  31  )  |  a  +  6  |  1  ]      (  5c  )


   Somit erweist sich die Orientierung des Kernvektors als abhängig von diesem Parameter a , obgleich er keinen einfluss ausübt,  ob das  LGS  singulär  wird oder nicht.

   Und jetzt greife ich nochmal in die Trickkiste. Wir hatten doch gesagt, von deinem LGS brauche ich gar nicht mehr die allgemeine Lösung, sondern ich begehre nur eine Sonderlösung.  Und abermals greift mein Trick; ich werde dir jetzt zeigen:  Wenn es überhaupt eine Lösung  ( x0 | y0 | z0 ) gibt, so auch eine mit verschwindendem x3 :


  ( x1 | x2 | x3 ) := ( x0 | y0 | z0 ) - z0  *  Kern  =    (  6a  )

 = ( x0 + z0 ( 5a + 31 ) | y0 - z0 ( a + 6 ) |  0  )     (  6b  )


    Dann lautet dein inhomogenes  LGS  in reduzierter Form


     6  x1  +  31  x2  =  (  -  223  )          (  7a  )

         x1  +     5  x2  =  (  -  31  )          (  7b  )

        x1  +    5  x2  =  -  c                    (  7c  )


    Durch die Elimination von  x3  gewinnen wir hier entschieden mehr Überblick.  Mit Sicherheit besitzt ( 7ab ) eine eindeutige Lösung; das lernt man schon im LMNTArunterricht.  Und  (  7c  ) widerspricht nur dann nicht der Aussage von ( 7b ) , wenn  c = 31 .   Die Antwort lautet  somit: c = 31 für die Existenz der Lösung und b = ( - 1 )  für einen nicht trivialen Kern .

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