Erste Ableitung berechnen / Grenzwert ausrechnen mit Formel

Question

ich komme schon wieder bei einer Aufgabe nicht weiter.

Und zwar soll ich den Grenzwert an einem bestimmten Punkt einer Funktion berechnen!
Also die Tangentensteigung in diesem gegebenen Punkt!

Die Funktion lautet f(x) = x^3 + 2x

Das ist ja nach den einfachen Regeln wie ich die erste Ableitung bilde leicht herauszufinden: f ' (x) = 3x^2 + 2.

Wenn ich das jedoch berechne mit der Formel f(x+h) - f(x) / h komme ich nicht weiter:

Eingesetzt lautet das wie folgt

(((x+h)^3 - 2(x+h)) - (x^3 - 2x)) / h

aufgelöst ist es dann

( x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3    - 2x -2h   - x^3 + 2x )  / h

=( 3x^2h + 3xh^2 + h^2 - 2h) / h

mit h kürzen :

= 3x^2h + 3xh^2 + h^2 -2


h = gegen Null = 3x^2 + 3x -2


Ich verstehe den Schritt nicht so richtig bei dem ich mit h gekürzt habe, bzw. das der Rest dann mit h gegen Null läuft - ich denke da liegt mein Fehler irgendwo? Vielleicht könnte mir da nochmal jemand helfen? Das wäre super!!

Answer 1

Du musst einfach nur sorgfältiger arbeiten.

Hier hast du schon einen einfach vermeidbaren Fehler begangen:

> Eingesetzt lautet das wie folgt

(((x+h)³ - 2(x+h)) - (x³ - 2x)) / h

Hier muss der Zähler natürlich:

 (((x+h)³ plus 2(x+h)) - (x³ plus 2x)) / h

lauten (vergleiche mit der gegebenen Funktion).

Aufgelöst ergibt sich dann:

( x ³ + 3 x ² h + 3 x h ² + h ³ + 2 x + 2 h - x ³- 2 x ) / h

=  ( 3 x ² h + 3 x h ² + h ³ + 2 h ) / h

Nun kürzen mit h:

= ( 3 x ² + 3 x h + h ² + 2 ) 

und den limes h->0 bilden:

lim [h->0] ( 3 x ² + 3 x h + h ² + 2 ) = 3 x ² + 2

und das ist die gesuchte Ableitung.

Comments

Danke für deine Antwort!

Ich habe mich leider beim Schreiben vorhin verschrieben.

Die Funktion lautet natürlich x^3 - 2x !


Und ansonsten habe ich so gerechnet wie oben aufgeführt, ich komme aber nicht auf das Ergebnis
f ' (x) = 3x^2 -2

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> Ich habe mich leider beim Schreiben vorhin verschrieben.

Wie gesagt: Sorgfältiger arbeiten! ... :-)

Naja, ein Schnitzer kann natürlich jedem mal passieren.

 

Also, dann fangen wir an dieser Stelle noch einmal an: 

> aufgelöst ist es dann

( x³ + 3x^2h + 3xh² + h³    - 2x -2h   - x³ + 2x )  / h

Das ist fast richtig, außer dass im zweiten Summanden das h natürlich nicht in den Exponenten gehört, sondern als Faktor hinter 3 x ².

So wäre es richtig:

( x³ + 3x²h + 3xh² + h³    - 2x -2h   - x³ + 2x )  / h

Zusammenfassen ergibt:

( 3x²h + 3xh² + h³ - 2h ) / h

Nun kürzen mit h

3x² + 3xh²+ h² - 2

(An dieser Stelle könnte eventuell dein Problem gelegen haben, denn da das h bei dir fehlerhaft im Exponenten stand, hat es sich nicht weggekürzt.)

Lässt man nun h -> 0 gehen, ergibt sich:

lim[h->0] 3x² + 3xh²+ h² - 2 = 3x² - 2

uns das ist die gesuchte Ableitung.

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Super! Jetzt hab ichs! Danke dir :-)