lim x^{x^{1/3}} (x gegen 0) Berechnen

Question

lim(x->0) x^{3.te wurzel (x)}

es müsste gleich 1 sein.

aber mein lösungsweg ist echt echt lang.

schafft ihr es kürzer^?

Answer 1

Am einfachsten wohl mit de Hospital

Dein Term x^{3.te wurzel (x)}

ist ja    e^{3.Wurzel(x) *ln(x)} 

und für x gegen 0 ist der Exponent vom Typ  0 * -unendlich

und für Hospital kannst du ihn umschreiben

     ln(x)  /  x^{-1/3}

Jetzt ist es vom Typ   -unendlich durch unendlich, also was für Hospital

und du bekommst  1/x  /   ( -1/3 * x^{-4/3} )    =  -3 * x^{1/3}

Und für x gegen 0 geht das gegen 0, also ist der gesuchte

Grenzwert  e^0 = 1.

Answer 2

  Ich hab doch gewusst, dass ich es packe .

   ln  (  y  )  =   x  ^ 1/3  *  ln  (  x  )       (  1  )

      Setze

    z  :=  -  ln  (  x  )         (  2  )

     Damit geht   z  ===>  (  +  °°  )

     x  =  exp  (  -  z  )      (  3a  )

  x  ^ 1/3  *  ln  (  x  )  =  -  z  exp  (  -  1/3  z  )      (  3b  )

    Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel:

  "  Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

   Der Limmes von  (  1 )  ist Null und damit der gesuchte Grenzwert gleich  Eins  .