Lineares Ausgleichsproblem aufstellen

Question

Es geht darum, mittels der folgenden Tabelle ein Lineares Ausgleichsproblem aufzustellen, durch welches man später die Position eines Vogels via Normalengleichung ermitteln kann.

Naturschützer    Nora   Otto   Anton   Frieda   Dieter
x-Koordinate         8        22       36          10        13
y-Koordinate         0          7       18          20        10
tan α                     1      -1/2       1/2          -1          0

Die Naturschützer befinden sich an den jeweiligen Koordinaten und hören den Schrei des gesuchten Vogels aus dem angegebenen Winkel. Dabei ist der Winkel α jeweils im mathematisch positiven Sinn von der positiven x-Achse aus gemessen.

Ich weiß leider nicht, wie ich das Ausgleichsproblem in diesem Kontext bestimmen soll. Ich freue mich über jegliche Hilfe.

Answer 1

Jede der Beobachtungen beschreibt eine Gerade in der Ebene. Jeweils ausgehend vom Standpunkt des Beobachters und mit der beobachteten Richtung. Wenn man jede dieser Geraden $i \in [1 \dots 5]$ in der Hesseschen Normalform schreibt, so erhält man

$$n_i^Tx_i - d_i = 0 \quad \text{mit } |n_i|=1$$

Diese Form hat den Vorteil. dass man ausgehend von einer Position $v$ (V wie Vogel) sofort den Abstand $e$ des Vogels zu dieser Geraden bestimmen kann. Es ist

$$e = |n_i^Tv - d_i|$$

Das übliche Vorgehen besteht nun darin, die Summe $S$ der Quadrate aller Abstände $e$ zu minimieren. Diese Summe ist

$$S = \sum e^2 = \sum_i |n_i^Tv - d_i|^2 = \sum_i (n_i^Tv - d_i)^2 \space \to \min$$ Dazu leitet man nach den Koordinaten von $v$ ab und setzt das Resultat zu 0.

$$\frac{\partial S}{\partial v} = \sum_i 2 n_i(n_i^Tv - d_i) = 0$$ Daraus folgt $$\left( \sum_i n_i \cdot n_i^T \right) \cdot v = \sum_i n_i \cdot d_i$$ und das ist nichts anderes wie ein lineares Gleichungssystem mit der Unbekannten $v$. Der Ausdruck $n_i \cdot n_i^T$ ist ein dyadisches Produkt zweier Vektoren und daher eine Matrix.

Der erste Beobachter Nora hat die Position $p_1=(8; 0)^T$ und schaut in Richtung $45°$ folglich ist der Normalenvektor

$$n_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1\\ 1\end{pmatrix}$$

und das $d_1$ ist

$$d_1 = n_1^T \cdot p_1= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1\\ 1\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 8\\ 0\end{pmatrix}= \frac{-8}{\sqrt{2}}$$ das dyadische Produkt der Normalvektoren und die rechte Seite für den ersten Beobachter Nora sind dann

$$n_1 \cdot n_1^T = \frac12 \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 & -0,5\\ -0,5 & 0,5\end{pmatrix}$$ $$n_1 \cdot d_1 = \frac12 \begin{pmatrix} 8\\ -8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ -4\end{pmatrix}$$ Das ist jetzt für jeden der fünf Beobachter zu machen und anschließend sind alle Matrizen und Vektoren der rechten Seite zu addieren. Man erhält:

$$\begin{pmatrix} 1,4 & 0 \\ 0 & 3,6\end{pmatrix} \cdot v = \begin{pmatrix} 26,2\\ 35,4\end{pmatrix}$$ was leicht zu lösen ist, da die Nebendiagonale der Matrix =0 ist.

$$v = \begin{pmatrix} \frac{262}{14}\\ \frac{354}{36}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18\frac{5}{7}\\ 9\frac{5}{6}\end{pmatrix}$$

Grafisch sieht das ganze so aus wie oben. Der grüne Punkt zeigt die wahrscheinliche Position des Vogels. Sieht sinnvoll aus ...

Gruß Werner

Comments

Wieso sind die Vektoren von den Beobachtern zu den Vogel verschieden lang?

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Weiß nicht, was Du für Vektoren meinst. Die Striche in der Zeichnung sind Geradenstücke und die Längen sind willkürlich eingezeichnet. Bekannt ist zu jedem Beobachter nur eine Gerade, kein Vektor und noch nicht mal eine Orientierung, da die Angabe des Tangens nur in einem Intervall von 0 bis $\pi$ eindeutig ist.

Answer 2

Deine Tabelle beschreibt jeweils Geraden, ausgehend vom Standpunkt des Beobachters in eine bestimmte Richtung. Grafisch sieht das so aus wie in dem beigefügten Bild.

Man könnte das Ausgleichsproblem also so formulieren, das der Aufenthaltsort des Vogels dort ist, wo der Abstand zu allen möglichen Schnittpunkten am kleinsten ist.

Dazu müsste man alle möglichen Schnittpunkte $x_i$ und $y_i$ der Geraden ausrechnen und anschließend den gesuchten Punkt $x$ und $y$ über die Gleichung.

$$f(x,y) = \sum_{i=1}^n \left[ (x_i - x)^2 +(y-y_i)^2 \right] \rightarrow \text{Minimal}$$ bestimmen.

Wenn man den Ausdruck minimiert kommt heraus

$$x = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 x_i = \overline x$$ und $$y = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 y_i = \overline y$$

Comments

Hallo ullim,

Dazu müsste man alle möglichen Schnittpunkte x_i und y_i der Geraden ausrechnen ...

ich halte diesen Algorithmus für nicht zielführend. Nehme zum Bespiel drei Geraden, von denen zwei annähernd parallel sind und sich erst in einer Entfernung von ca. 300km schneiden. Angenommen, die anderen beiden Schnittpunkte liegen nur wenige Meter auseinander. Dann bekommst Du als Ergebnis eine Position, welche ca. 100km  von den beiden neben einander liegenden Schnittpunkten entfernt ist. Wenn sich jetzt die Richtung einer der beiden annähernd parallel liegenden Geraden nur leicht derart ändert (hier ca. 1mGrad), dass der neue entfernte Schnittpunkt jetzt auf der andern Seite liegt, würde das Ergebnis um 200km springen, obwohl sich gar nicht viel geändert hat.

Das macht keinen Sinn.

Gruß Werner