Vollständige Induktion. Summenformel ∑ (4k-1) = (2n+1)*n zeigen

Question

 ich habe eine Änfängerfrage zur Vollständigen Induktion. Ich komm bei folgender Aufgabe nicht voran :

_n

∑   (4k-1) = (2n+1)*n

_k=1

_{Induktionsanfang:}

A(1) = 4*1-1 = (2*1+1)*1 ⇒ 3=3

Induktionsschritt:

InduktionsVoraussetzung:

 für n=k sei die Aussage wahr.

A(k)= (4k-1)=(2k+1)*k

Induktionsbehauptung:

Hier habe ich Probleme und weiss nicht ganz wie weiterkomme !

A(k+1)= (4k-1)=(2(k+1)+1)*(k+1)

Was muss man genau bei der Induktionsbehauptung machen damit man voran kommt.

Ich danke im Voraus

Answer 1

Mach es im Induktionsschritt lieber so

-Angenommen die Aussage sei für beliebiges, aber festes, m∈ℕ wahr sodass gilt:

$$ \sum_{k=1}^m {4k-1}=(2m+1)m\quad (IV) $$

-Dann gilt diese Aussage auch für m+1, also

$$ \sum_{k=1}^{m+1} {4k-1}=(2(m+1)+1)(m+1)=(2m+3)(m+1)=2m^2+5m+3 $$

-Dies zeigt man so. Jetzt fängst du mit deiner Behauptung mit m+1 an:

$$  \sum_{k=1}^{m+1} {4k-1}\stackrel{(*)}{=}\Bigg( \sum_{k=1}^{m} {4k-1}\Bigg)+4(m+1)-1\\=\Bigg( \sum_{k=1}^{m} {4k-1}\Bigg)+4m+3\\ \stackrel{(IV)}{=} (2m+1)m+4m+3=2m^2+5m+3 $$

(*)Es geht einfach darum durch geschicktes Umschreiben deine Induktionsvoraussetzung (IV) wieder zu gewinnen. Und das macht man einfach, indem man hier das letzte Summenglied m+1 von der Summenformel abspaltet.

Und damit ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen.

Answer 2

hallo

1. sollte man die Ind Vors. nämlich A(n) richtig hinschreiben :

A(n)=∑_k=1 ⁿ (4k-1)=(2n+1)*n

Ind, Beh

A(n+1)=(2(n+1)+1)*(n+1)

jetz muss man die Ind Vors  benutzen

A(n+1)=A(n)+4(n+1)-1=(2n+1)*n+4n+3

den Ausdruck jetzt mit der Behauptung  (2n+3)*(n+1) vergleichen und feststellen, dass sie gleich sind , am besten, indem man beide ausmultipliziert.

bei einem Induktionsbeweis MUSS man immer die Ind,Vors. benutzen, sonst kommt man nie weiter!

Gruß lul