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Die Abbildungsmatrix 182*(

80
18
18
-80

).

Diese Matrix realisiert die Spiegeliung eines Vektors an der Geraden y=m⋅x.

Wie bestimme ich jetzt m ?

von

Du meinst wahrscheinlich die Matrix \(\)\[\frac{1}{82}\cdot\begin{pmatrix}80 & 18 \\ 18 & -80\end{pmatrix},\] oder?

Denn in der Aufgabenstellung steht \[182\cdot\begin{pmatrix}80 & 18 \\ 18 & -80\end{pmatrix},\] was keine Matrix ist, die zu einer Spiegelung passt.

ja genau, hab mich vertippt

2 Antworten

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Wie man die Aufgabe löst, kommt ganz darauf an, was du weißt.

Wenn du dich mit Eigenvektoren auskennst, könntest du den Eigenraum zum Eigenwert \(1\) berechnen, welcher der gesuchten Fixpunktgeraden entspricht.

\[A := \frac{1}{82}\cdot\begin{pmatrix}80 & 18 \\ 18 & -80\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{80}{82} & \frac{18}{82} \\ \frac{18}{82} & -\frac{80}{82}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{40}{41} & \frac{9}{41} \\ \frac{9}{41} & -\frac{40}{41}\end{pmatrix}\]

\[\text{Eig}(A, 1) = \ker\left(A - 1\cdot E_2\right)=\ker\begin{pmatrix}\frac{40}{41} - 1 & \frac{9}{41} \\ \frac{9}{41} & -\frac{40}{41} - 1\end{pmatrix}=\ker\begin{pmatrix}40-41 & 9 \\ 9 & -40 - 41\end{pmatrix}=\ker\begin{pmatrix}-1 & 9 \\ 9 & -81\end{pmatrix}=\ker\begin{pmatrix}-1 & 9 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \left\langle\begin{pmatrix}9 \\ 1\end{pmatrix}\right\rangle\]

Ein Richtungsvektor der Fixpunktgeraden ist demnach \(\begin{pmatrix}9 \\ 1\end{pmatrix}\), weshalb man die folgende Steigung erhält: \[m = \frac{1}{9}\]

==========

Ansonsten kannst du die Matrix \[A := \frac{1}{82}\cdot\begin{pmatrix}80 & 18 \\ 18 & -80\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{80}{82} & \frac{18}{82} \\ \frac{18}{82} & -\frac{80}{82}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{40}{41} & \frac{9}{41} \\ \frac{9}{41} & -\frac{40}{41}\end{pmatrix}\] auch mit der Spiegelungsmatrix \[\begin{pmatrix}\cos(2\alpha) & \sin(2 \alpha) \\ \sin(2\alpha) & -\cos(2\alpha)\end{pmatrix}\] vergleichen, wobei \(\alpha\) den Neigungswinkel der Fixpunktgerade bezeichnet.

Damit erhält man dann: \[\cos\left(2\alpha\right) = \frac{40}{41}\quad \text{ und }\quad \sin\left(2\alpha\right) = \frac{9}{41}\text{.}\]

Die Steigung \(m\) der Fixpunktgerade erhält man mit Hilfe der Tangensfunktion aus dem Neigungswinkel \(\alpha\). Es ist: \[m = \tan\left(\alpha\right) = \tan\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos\left(2\alpha\right)}{\sin\left(2\alpha\right)} = \frac{1- \frac{40}{41}}{\frac{9}{41}}=\frac{41-40}{9}=\frac{1}{9}\]

von 1,2 k
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y = 1/9 * x

Lies dazu die Grundlagen unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelungsmatrix

durch.

von 388 k 🚀

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