Grenzwert bestimmen bei komplizierter Folge mit 2 Variabeln

Question

könnte mir jemand bitte bei der Lösung dieser Aufgabe helfen? Ich weiss leider nicht ganz wie ich vorgehen soll ... :/

Wir setzten für m,n € N

$$a_m,_n := (1 - \frac{1}{n+1})^{m}$$

Bestimmen Sie  lim_{n-> inf} (lim _{m -> inf}  a_m,n) und  lim _{m -> inf} (lim _{n -> inf}  a_m,n)

Please HELP !

Answer 1

Naja, wenn man zunächst für beliebiges $m\in \mathbb{N}$ den Grenzwert $\lim_{n\to \infty}a_{m, n}$ betrachtet erhält man: $\lim_{n\to \infty}a_{m, n} = \lim_{n\to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^m = \left(1 + 0\right)^m = 1^m = 1$

Damit ist dann: \[\lim_{m\to \infty}\lim_{n\to \infty}a_{m, n} = \lim_{m\to \infty}1 = 1\]

=====

Für beliebiges $n\in \mathbb{N}$ ist $1-\frac{1}{n+1}< 1$ und damit: $\lim_{m\to \infty}a_{m, n} = \lim_{m\to \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^m = 0$

Daher ist dann: \[\lim_{n\to \infty}\lim_{m\to \infty}a_{m, n} = \lim_{n\to \infty}0 = 0\]