Dimension und Vektorräume. Bsp. (1) Beweisen Sie, dass LinK(V,W) ein K-Vektorraum ist.

Question

Hilfe ich komme hier nicht weiter

Seien K ein Körper, V,W zwei K –Vektorräume und
                   LinK(V,W) := {V → W ∣ f ist  K–linear}. ( f ist auf dem Pfeil)
Für f,g∈ Lin K(V,W), λ∈K und v∈ V setzen wir:
(f+g)(v) :=f(v) +g(v);  (λf)(v) :=λf(v).
(1) Beweisen Sie, dass LinK(V,W) ein K-Vektorraum ist.
(2) Angenommen dim K(V) =n und dimK(W) =m. Was ist dimK (LinK(V,W))?

Answer 1

Du musst nur die Vektorraumaxiome überprüfen. Siehe etwa

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

Also z.B. das was dort V1 heißt:

Die u,v,w sind in deinem Fall also lineare Abbildungen

(etwa f,g,h..) von V nach W.

Nach deiner Definition der Addition gilt ja für jedes x ∈ V

(f+(g+h))(x) = f(x) + (g+h)(x) = f(x) + (g(x) + h(x))

und f(x) , g(x) , h(x) sind Elemente von W, also ist +

hier assoziativ, alsop gilt

= (f(x) + g(x) )+ h(x)

= (f+g)(x) + h(x)

= ((f+g) + h)(x)

Und weil f+(g+h) und (f+g)+h Abbildungen von V nach W sind, die für

jedes x übereinstimmen, sind sie gleich.

In der Art auch die anderen Axiome nachweisen.

Tipp: Statt Lin_K(V,W) heißt es oft auch Hom_K(V,W).

Da kannst du sicher noch Hilfen finden oder frage hier noch

mal nach.

zu (2). dim = n*m