DGL 2. Ordnung Koeffizientenvergleich y''+10y'=x2*ex

Question

Hallo ihr alle,

Ich komme nicht weiter nachdem ich yp'' und yp' in die Allg. eingesetzt habe.

Ich bekomme

(11Ax³+36Ax²+11Bx²+6Ax+24Bx+11Cx+11C)*E*e^x=x²*e^x heraus.

Jetzt die Frage, kann ich im Koeff.vgl. E*e^x=e^x setzten und wenn nicht was soll ich machen

Answer 1

Lautet die Aufgabe wirklich so? Wenn ja,

ich habe erhalten:

y_h=C₁e^-10x +C₂

y_p=Ae^x +Be^x*x +C e^x *x²

Hast Du das auch so?

Ich komme damit auf ein anderes Ergebnis.

Beim Koeffizientenvergleich mußt Du dann betrachten:

e^x

e^x *x

e^x *x²

Comments

Hey Großerlöwe,

erstmal danke für dein schnelle Antwort

durch D=0 ist die Form y=(C1+C2)*e^cx gegeben.

yh=(C1+C2)*e^x

Der Ansatzt für yp ist g(x)=g1(x)*g2(x)

oder hab ich mich da vertan.

g2(x)= Ax*e^cx

g1(x)=x*Q(x) also deinen Ansatz

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Deine homog. Lösung ist falsch

yh=C₁ e^-10x +C₂ e^0x

yh=C₁ e^-10x +C₂ 

hier ein sehr hilfreicher Link:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

oder hier:

https://www-user.tu-chemnitz.de/~peju/skripte/gdgl/Merkblatt_PL.pdf

Answer 2

Jetzt die Frage, kann ich im Koeff.vgl. E*e^{x}=e^{x} setzten und wenn nicht was soll ich machen

Du könntest zunächst durch $e^x$ dividieren, und dann $E$ einfach zu 1 setzen. Aber vielleicht soltest Du es lieber so machen:

In der DGL kommt kein $y$ vor, daher substituiere ich zunächst $z=y'$. Man erhält $$z'+10z=x^2e^x$$ Der homoge Anteil $z'+10z=0$ ist als Klassiker leicht zu lösen: $z=C_1 \cdot e^{-10x}$. Und für den inhomogenen Teil verwende ich den Ansatz $$z = (Ax^2 + Bx + C)\cdot e^x \quad \Rightarrow z'=(Ax^2 + Bx + C)\cdot e^x + (2Ax+B) \cdot e^x$$ Einsetzen ergibt

$$(Ax^2 + Bx + C)\cdot e^x + (2Ax+B) \cdot e^x + 10((Ax^2 + Bx + C)\cdot e^x) = x^2 e^x \\ (Ax^2 + Bx + C) + (2Ax+B) + 10(Ax^2 + Bx + C) = x^2 \\ (11A-1)x^2 + (2A+11B)x + (B + 11C) = 0 \\ \Rightarrow A=\frac{1}{11}; \quad B = \frac{-2}{11^2}; \quad C = \frac{2}{11^3}$$

und somit ist $z(x)$ die Summe beider Lösungen $$z(x)= C_1 \cdot e^{-10x} + \frac{1}{11^3} \left( 121 x^2 - 22x + 2\right) \cdot e^x$$

wenn Du Fragen hast, z.B. wie man nun zu $y(x)$ kommt, oder was anderes, so melde Dich bitte.

Comments

Danke für deine Ausführliche Antwort.

Könntest du mir den übergang von

(Ax2+Bx+C)+(2Ax+B)+10(Ax2+Bx+C)=x2

zu

(11A−1)x2+(2A+11B)x+(B+11C)=0

nochmal erklären wieso wird die Gleichung hom.?

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Hallo Stefan,

$$(Ax^2 + Bx + C) + (2Ax+B) + 10(Ax^2 + Bx + C) = x^2$$ Klammern auflösen $$Ax^2 + Bx + C + 2Ax+B + 10Ax^2 + 10Bx + 10C = x^2$$ sortieren nach Potenzen von $x$ $$Ax^2 + 10 Ax^2- x^2 + 2Ax + Bx + 10Bx + B + C + 10C = 0$$ Faktoren vor $x$ wieder zusammen fassen$$(11A-1)x^2 + (2A+11B)x + (B + 11C) = 0$$

nochmal erklären wieso wird die Gleichung hom.?

Die Gleichung wird nicht homogen, sondern eine DGL dieser Art hat eine Lösung, die aus dem homogenen Anteil (dem mit $=0$) und aus dem inhomogenen Anteil resultiert. Die vollständige Lösung ist dann die Summe beider Teillösungen.