0 Daumen
262 Aufrufe

Aufgabe:

Man löse die folgenden Differentialgleichungen mit dem speziellen Ansatz:

(a) \( y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{2 t}, y(0)=-2, y^{\prime}(0)=-3 \).

(b) \( y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\cos (t) \).

Hinweis: Löse zuerst die DG \( z^{\prime \prime}+4 z^{\prime}+4 z=e^{i t}=\cos t+i \sin t, \operatorname{der} \) entsprechend auch im Komplexen funktioniert. Die gesuchte Lösung \( y \) ist dann \( y=\operatorname{Re}(z) \).


Ansatz/Problem:

Unter (a), ich habe die DGL und ich mus sie lösen mit dem Speziellen ansatz der zu dem koeffizienten wergleich fürt:

Also es geht es so weiter:

yΙΙ - 3yΙ + 2 y = e2t*e0
y = (a+bt)*e0t = a + bt
yΙ = b
yΙΙ= 0 (Das wird in die formel eingesetzt:

0 - 3b + 2(a+bt)=e2t  also => -3b + 2a + 2bt=e2t

Dan kommt der Koeffizienten wergleich

t=0 > -3b + 2a =e2*0 =>
=> -3b + 2a = 1 =>
=> 3b = 2a =>
=> b = 2/3 *a => b= e2/2

t=1 > -3b + 2a + 2b = e2 =>
=> -b + 2a =e2 =>
=> -2/3a + 2a =e2 =>
=> a =3/4 * e2

dan wen man das einsetzt in Y= a + bt, kommt raus:

y= 3/4 *e2 + e2/2 * t; doch wen man das jetzt ableitet bekommen wir
yΙ= 3/4 *e2 und dan nochmall
yΙΙ= 0.

DOch wen ich das jetzt alles in die formel ganz am anfgan stelle kommt etwass total anderes raus und nicht e2t

Könnte mir jemand sagen wo ich den Fehler mache?

von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind:

1 und 2

Da aber die 2 auch in der Störfunktion einmal vorkommt, entsteht folgender Ansatz für die partikuläre Lösung:

y_p= t(A *e^{2t})

Das heißt, die 2 von der Störfunktion ist einmal als Lösung in der charakteristischen Gleichung.

Hierfür gibt es Tabellen für den Ansatz. Zum Beispiel: http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf (Schau unter Punkt 2, das ist alles. Ob C oder A, die Bezeichnung ist egal.)

Y_p musst Du 2 Mal ableiten und in die Aufgabe einsetzen, dann erfolgt der Koeffizientenvergleich.

von 114 k 🚀

Danke für die Tabelle, die wurde uns nicht gegeben. Nur leider verstehe ich immer noch nicht, was der Parameter A ist.

Zum Beispiel in der zweiten Tabelle hat er für das Beispiel DGL = 3*e4x hat er Yp=1/6 e4x geschrieben. Wie ist er jetzt auf 1/6 gekommen?

es ist immer das gleiche Schema

-Ansatz für die part. Lösung finden

- dann in unserem Fall y(p) 2. Mal  Ableiten

- y(p), y(p)' und y(p)'' in die Aufgabe einsetzen

-Koeffizientenvergleich

-Lösung :1/6

-Einsetzen von 1/6 in den Ansatz für y_p

----->y_p= 1/6 e^{4x}

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community