das ist eine von den Aufgaben, die im Grunde leicht zu lösen sind, wenn man nur die Aufgabenstellung genau versteht. Gesucht ist eine Matrix - ich nenne sie mal A∗ - die die gleiche Abbildung darstellen soll wie A; nur auf ein anderes Koordinatensystem bezogen.
Das andere System - ich nenne es mal 1 - ist durch seine Einheitsvektoren gegeben. Diese sind im Standardsystem - ich nenne das mal 0 - definiert. Es ist
0T1=101(13−31)
das bedeutet, dass eine Position 1p mit Hilfe dieser Transformationsmatrix nach 0p transformiert werden kann. Achtung! die Position selbst ist die gleiche, nur ihr Bezugssystem ändert sich. Ein Bild soll das veranschaulichen.

Der Einfachheit halber habe ich eine Transformationsmatrix
0U1=(13−31)
also ohne den Faktor 1/10, gewählt. Du siehst dort den Punkt P der im 0-System die Koordinaten
0p=(−17) hat. Im 1-System erreicht man den Punkt, indem man ausgehend vom Ursprung 2mal in Richtung e1 marschiert und anschließend 1mal in Richtung e2 - also sind die Koordinaten von P im 1-System
1p=(21) und man rechnet dies, indem man die Transformationsmatrix mit dem Vekor multipliziert
0p=0U1⋅1p=(13−31)⋅(21)=(−17) oder auch
1p=1U0⋅0p wobei
1U0=(0U1)−1 ist. So das war nur das Vorgeplänkel; kommen wir zur eigentlichen Aufgabe.
Gesucht ist eine Matrix A∗, die die gleichen Abbildung erzeugt wie A, nur dass die Positionen im 1- statt im 0-System gegeben sind. Es soll also sein
1p′=A∗⋅1p
jetzt transformiere ich in das 0-System (s.o.)
1T0⋅0p′=A∗⋅1T0⋅0p und multipliziere links 0T1
0p′=0T1⋅A∗⋅1T0⋅0p das 0p′ ist aber lt. Aufgabenstellung
0p′=A⋅0p
und das muss für jeden beliebigen Punkt 0p passen, folglich muss sein:
A=0T1⋅A∗⋅1T0
bzw.:
A∗=1T0⋅A⋅0T1=101(1−331)⋅(13−59)⋅101(13−31)=(7,67.2−0,82,4)
falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.
Gruß Werner