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Wie lautet die Darstellung der Abbildungsmatrix, die im im R2-Standard-Koordinatensystem die Darstellung A=(

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hat, im Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren e1=1/√10* (1,3)T und e2=1/√10*(−3,1)T?

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Rechne einfach die Bilder der Einheitsvektoren aus, das sind die Spalten der

gesuchten Matrix, das gibt

-7/5 *√10        -4/5*√10

  3*√10                 0

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Rechne einfach die Bilder der Einheitsvektoren aus

IMHO reicht dies nicht aus; siehe auch https://www.mathelounge.de/500664/darstellung-matrix-mit-einheitsvek….

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das ist eine von den Aufgaben, die im Grunde leicht zu lösen sind, wenn man nur die Aufgabenstellung genau versteht. Gesucht ist eine Matrix - ich nenne sie mal AA^* - die die gleiche Abbildung darstellen soll wie AA; nur auf ein anderes Koordinatensystem bezogen.

Das andere System - ich nenne es mal 11 - ist durch seine Einheitsvektoren gegeben. Diese sind im Standardsystem - ich nenne das mal 00 - definiert. Es ist

0T1=110(1331)^0T_1 = \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1\end{pmatrix}

das bedeutet, dass eine Position 1p^1p mit Hilfe dieser Transformationsmatrix nach 0p^0p transformiert werden kann. Achtung! die Position selbst ist die gleiche, nur ihr Bezugssystem ändert sich. Ein Bild soll das veranschaulichen.

SKizze2.png

Der Einfachheit halber habe ich eine Transformationsmatrix

0U1=(1331)^0U_1 = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1\end{pmatrix}

also ohne den Faktor 1/101/\sqrt{10}, gewählt. Du siehst dort den Punkt PP der im 0-System die Koordinaten

0p=(17)^0p=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix} hat. Im 1-System erreicht man den Punkt, indem man ausgehend vom Ursprung 2mal in Richtung e1e_1 marschiert und anschließend 1mal in Richtung e2e_2 - also sind die Koordinaten von PP im 1-System

1p=(21)^1p=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} und man rechnet dies, indem man die Transformationsmatrix mit dem Vekor multipliziert

0p=0U11p=(1331)(21)=(17)^0p = {^0U_1} \cdot {^1p} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix} oder auch

1p=1U00p^1p= {^1U_0} \cdot {^0p} wobei

1U0=(0U1)1^1U_0 = \left( {^0U_1}\right)^{-1} ist. So das war nur das Vorgeplänkel; kommen wir zur eigentlichen Aufgabe.

Gesucht ist eine Matrix AA^*, die die gleichen Abbildung erzeugt wie AA, nur dass die Positionen im 1- statt im 0-System gegeben sind. Es soll also sein

1p=A1p^1p' = A^* \cdot {^1p}

jetzt transformiere ich in das 0-System (s.o.)

1T00p=A1T00p ^1T_0 \cdot {^0p'} = A^* \cdot {^1T_0} \cdot {^0p} und multipliziere links 0T1^0T_1

0p=0T1A1T00p {^0p'} = {^0T_1} \cdot A^* \cdot {^1T_0} \cdot {^0p} das 0p{^0p'} ist aber lt. Aufgabenstellung

0p=A0p{^0p'} = A \cdot {^0p}

und das muss für jeden beliebigen Punkt 0p{^0p} passen, folglich muss sein:

A=0T1A1T0A = {^0T_1} \cdot A^* \cdot {^1T_0}

bzw.:

A=1T0A0T1=110(1331)(1539)110(1331)=(7,60,87.22,4)\begin{aligned} A^* &= {^1T_0} \cdot A \cdot {^0T_1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 3 & 9\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 7,6 & -0,8 \\ 7.2 & 2,4\end{pmatrix} \end{aligned}

falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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