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Hallo zusammen,

ich konnte das in den Fragen nicht finden daher diese Frage:

Ich soll beweisen, dass

X\(M1∩M2) = (X\M1) U (X\M2)

ist.

Wenn nun aber die Mengen M1&M2 komplett in X liegen dann ist diese Gleichheit doch nicht gegeben, da ich auf der linken Seite der Gleichung nur die Schnittmenge von M1&M2 nicht betrachte, während auf der rechten Seite die gesamten Mengen M1&M2 nicht betrachtet werden. Die Gleichung gilt also für diesen Fall nur, wenn M1=M2 oder habe ich einen Denkfehler?


Danke schon mal für die Antworten

Merlin

von

1 Antwort

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Einen Beweis für das Pseudo-Distributivgesetz findest du im Internet.

A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C)

Ich übersetze mal und werde auch das Original beifügen, falls es zu Fehlern kommt:

Wähle einen Punkt \(x \in A \setminus (B \cap C)\). Beweise nun \(x \in A\), aber \(x \notin B \cap C\). Letztere Bedingung bedeutet entweder \(x \notin B\) oder \(x \notin C\). Folgendermaßen ist es entweder \(x \in A \setminus B\) oder \(x \in A \setminus C\).

Das ist dann \(x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\). Guck dir die Schlussfolgerung an, die gerade bewiesen wurde:$$x \in A \setminus (B \cap C) \implies x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C).$$ Das ist die genaue Aussage von:$$A \setminus (B \cap C) \subseteq (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$$ Es bleibt aber immer noch zu beweisen, dass:$$(A \setminus B) \cup (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cap C)$$ Ab hier kannst du weiter machen.

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NEUE BEWEISFÜHRUNG:

Ein weiter Beweis, dass \((A\setminus B) \cup (A\setminus C) = A\setminus (B \cap C)\) gilt ist

Beweisführung:$$y\in (A\setminus B) \cup (A\setminus C)$$$$(A\setminus B) \cup (A\setminus C) = (y \in A\;  \land y \not\in > B\;)\vee (y \in A\; \land y \not\in C\;)$$$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= y \in A\ \land ( y \not\in B\; \vee \; y \not\in C )$$$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= y \in A \land (\lnot ( y\in B) \lor \lnot( y\in C) )$$ Nach den De Morganschen Gesetzen gilt:$$\lnot( B \land C) \Longleftrightarrow (\lnot B \lor \lnot C)$$ Deswegen gilt:$$y \in A \land (\lnot ( y\in B) \lor \lnot( y\in C) ) = y \in A \land y \not\in (B \land C)$$ Jetzt können wir daraus schließen, dass:$$(A\setminus B) \cup (A\setminus C) = A\setminus (B \cap C)$$

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von 26 k

Kann mir mal jemand sagen, wie man mit "fremden" Seiten hier umgehen sollte? Ich habe die beiden Seiten jetzt nicht markiert, aus Angst, dadurch irgendwie gegen die Richtlinien zu verstoßen.

Mir ist schon aufgefallen, dass hier manche Webseiten gesperrt sind.

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