Einen Beweis für das Pseudo-Distributivgesetz findest du im Internet.
A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C)
Ich übersetze mal und werde auch das Original beifügen, falls es zu Fehlern kommt:
Wähle einen Punkt \(x \in A \setminus (B \cap C)\). Beweise nun \(x \in A\), aber \(x \notin B \cap C\). Letztere Bedingung bedeutet entweder \(x \notin B\) oder \(x \notin C\). Folgendermaßen ist es entweder \(x \in A \setminus B\) oder \(x \in A \setminus C\).
Das ist dann \(x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\). Guck dir die Schlussfolgerung an, die gerade bewiesen wurde:$$x \in A \setminus (B \cap C) \implies x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C).$$ Das ist die genaue Aussage von:$$A \setminus (B \cap C) \subseteq (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$$ Es bleibt aber immer noch zu beweisen, dass:$$(A \setminus B) \cup (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cap C)$$ Ab hier kannst du weiter machen.
NEUE BEWEISFÜHRUNG:
Ein weiter Beweis, dass \((A\setminus B) \cup (A\setminus C) = A\setminus (B \cap C)\) gilt ist
Beweisführung:$$y\in (A\setminus B) \cup (A\setminus C)$$$$(A\setminus B) \cup (A\setminus C) = (y \in A\; \land y \not\in > B\;)\vee (y \in A\; \land y \not\in C\;)$$$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= y \in A\ \land ( y \not\in B\; \vee \; y \not\in C )$$$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= y \in A \land (\lnot ( y\in B) \lor \lnot( y\in C) )$$ Nach den De Morganschen Gesetzen gilt:$$\lnot( B \land C) \Longleftrightarrow (\lnot B \lor \lnot C)$$ Deswegen gilt:$$y \in A \land (\lnot ( y\in B) \lor \lnot( y\in C) ) = y \in A \land y \not\in (B \land C)$$ Jetzt können wir daraus schließen, dass:$$(A\setminus B) \cup (A\setminus C) = A\setminus (B \cap C)$$
