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Bestimmen Sie alle Lösungen y ∈ C1(R, R) der Differentialgleichung y'''(t) + 6y''(t) + 11y'(t) + 6y(t) = 0, t ∈ R. 
Hinweis: Verwenden Sie den Ansatz y(t) = eλt, y(t) = teλt, y(t) = t2eλt, ...     

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Hallo

fang an mir e^{λt} als Ansatz, das Polynom hat als absolutes Glied 6, also versuche λ=-2 oder -3 einzusetzen, wenn du eine Nullstelle hast, Polynomdivision um zur quadratischen Gleichung zu kommen.

 bei mehrfachen gleichen Werten für λ dann die anderen Ansätze. Warum hast du nicht direkt die Hinweise angewandt?

Es gibt nichts gutes ausser man tut es!

Gruß lul

Beantwortet von 12 k
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Hallo,

y(t)= e^{λ t}

y '(t)=  λ e^{λ t}

y ''(t) = λ^2 *e^{λ t}

y ''' (t)= λ^3 *e^{λ t}

->eingesetzt in die Aufgabe:

λ^3 *e^{λ t} +6 λ^2 *e^{λ t} +11 λ e^{λ t} +6 e^{λ t}=0

e^{λ t}  ausklammern :

e^{λ t} (λ^3 +6 λ^2 +11 λ +6)=0 

e^{λt} ≠ 0

------->

λ^3 +6 λ^2 +11 λ +6=0

(λ+1)(λ+2)(λ+3)=0

λ1= -1 

λ2= -2

λ3= -3 

->

Lösung: y(t) = C1 e^{-3 t} + C2 e^{-2 t} + C3 e^{-t}

Beantwortet von 75 k
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   Kannst du die Kettenregel?  Du wirst geführt auf  die charakteristische Gleichung


    k  ³  +  6  k  ²  +  11  k  +  6  =  0        (  1  )


    Aus der Algebravorlesung  kennt  man zur Not; es stellt sich folgende Alternative: Entweder ist  ( 1 )  das ===>  Minimalpolynom seiner Wurzeln; oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab.

   Worauf ich nicht müde werde, immer wieder herum zu reiten, obgleich mir daraus längst ein Vorwurf  gemacht wird:  Das Polynom ( 1 ) ist normiert; aus dem ===>  Satz von der rationalen Nullstelle  (  SRN  )   ergibt sich, dass seine RLF   ganzzahlig sein  müssen.

    Genau wie du seit Jeher  DGLS  durch einen Ansatz knacken konntest, so ermöglicht dies der SRN  auch für Polynome,  wobei wir uns von der Vorstellung leiten lassen, dass ( 1 ) nicht nur einen RLF  abspaltet, sondern vollständig zerfällt. Das Zauberwort:  Vieta das geschmähte Stiefkind.


      x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0  =  0        (  2a  )

        a2  =  a0  =  6  ;  a1  =  11        (  2b  )

       a0  =  -  x1  x2  x3  =  6       (  2c  )


     (  2c  ) sagt also aus, dass du das Absolutglied  6  zerlegen musst.  Nun besitzt die  6 nur die triviale Zerlegung  6 = 1 * 1 * 6  so wie die nicht triviale  6 = 1 * 2 * 3  .  Doch halt stop;  welches Vorzeichen haben wir?  Dafür gibt es die cartesische Vorzeichenregel  (  CV )

   Gleich für  x > 0 brettert die CV auf einen Entartungsfall.  Hier wie soll denn die Summe aus vier positiven Trmen Null werden?

   " Drei Mal Minus "


     x1  <  =  x2  <  =  x3  <  0       (  3  )


     In Wahrheit hat unser Ansatz mit der CV bereits seine erste Bewährungsprobe bestanden; der dritte Grad ist  nämlich der kleinste Polynomgrad, wo du bereits über die CV  ausschließen kannst, dass es zerfällt.

   Diskriminante ist  diesmal Vieta  a2


       a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )       (  4a  )

     x1  =  (  -  6  )  ;  x2;3  =  (  -  1  )  ;  a2  =  8       (  4b  )

    x1  =  (  -  3  )  ;  x2  =  (  -  2  )  ;  x1  =  (  -  1  )  ;  a2  =  6      (  4c  )     ;  ok


    Jetzt kommt es zum Schwur. Vieta  a1 ist die hinreichende Bedingung.


     a1  =  (  x1  +  x2  )  x3  +  x1  x2  =  3  +  2  +  3  *  2  =  11    (  5  )  ;  ok


   Du hast also drei Mal den aperiodischen Kriechfall.


    Kleine Anekdote gefällig?  Ein Mitarbeiter des  CERN  hatte sich  da eine kosmologische Aufgabe ausgedacht - erst später im Betrieb erfuhr ich, dass er sich jegliche Verbreitung der Lösung durch Profs oder Assistenten verbeten hatte.

   Ich erfuhr davon in Kl. 12 mc während einer " Schülervorlesung "  ;  die Aufgabe lag nämlich jedes Jahr aus als Kopfnuss für die Erstsemester vor den Weihnachtsferien. Noch am gleichen Abend habe ich sie gelöst.

   Erst so nach und nach wurde mir klar, dass man meinen Lösungsansatz als DGL bezeichnet und mein Lösungsverfahren als Trennung der Veränderlichen.

   Es geriet wieder mal zu einem meiner Superman Auftritte, weil mein Lehrer die Aufgabe natürlich nicht kannte und in der misslichen Lage war, mein Referat moderieren zu müssen.

   Same procedure as last year.  Im ersten Semester in der Uni wurde mir sehr schnell klar, dass bei meinen sämtlichen Kommilitonen nur Ebbe war; jeder wartete  quasi auf den De pp , der ihm die Kohlen aus dem Feuer holt.

   Es waren die unruhigen 68_er Jahre; unsere Übungsgruppe wollte ja nur Fez. Reiner der größte Krakeeler machte sich zum Wortführer  und ging den Assistenten an

   " Mensch Walter halt die Klappe. du hast eh von nix ' eine Ahnung. Haba komm vor; los rechnen !!! "

   Walter kämpfte um   den letzen Rest von Autorität; er handelte mit mir den Kompromiss aus, dass er wenigstens den Prolog zu meinem Referat sprechen dürfe.

    Und das ist der Grund, warum ich euch dieses Vorkommnis überhaupt berichte.

   Über das wahre Verhältnis von Differenzial, Integral und  DGL  .  Walter  ( lispelt stark )

   " Differenziern kann jeder. Intekriern is Klückßßache.

    Unn bei dene DGL ; gell. Da duutmer als de Nachbar fraache; hier geppmer doch maa en Ansatz, damittisch weiß, was rauskommt.

   Weil bei dene DGL ; gell. Da gibt es so Existenzsätze; gell. Also die Lösunge; gell, dass die existiern.

   Weil die ganzen Existenzbeweise; gell. die duun mir Sie nachher in die Prüfung abfrage.

   Aber wiemer die Lösunge findet; gell. Das sagemir Ihnen nischt; weil das giept es nischt ... "

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