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T(t)=a*e-k*t+b

T(0.5)=86

T(4)=68.5

T(7.5)=55.5

kann man die parameter a,b und k mit einem einfachen weg berechnen? ich mache es mit dem einsetzverfahren, wodurch die rechnung aber ziemlich kompliziert wird

von

Bem.: Das Vorgehen ist das gleiche, das ich Dir schon zu Deiner vorhergenden Frage gezeigt habe. (siehe meine Antwort unten)

1 Antwort

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Hallo,

mache Dir zunutze, dass die Abstände zwischen den Werten für \(t\) gleich sind. Bringe in allen drei Gleichungen das \(b\) auf die andere Seite und dividiere jeweils zwei aufeinander folgende Gleichungen durch einander. Man erhält:  $$\frac{68,5 - b}{86 - b} = \frac{a \cdot e^{-k \cdot 4}}{a \cdot e^{-k \cdot 0,5}} = e^{- k \cdot 3,5}\\ \frac{55,5 - b}{68,5 - b} = \frac{a \cdot e^{-k \cdot 7,5}}{a \cdot e^{-k \cdot 4}} = e^{- k \cdot 3,5}$$ So fällt die Variable \(a\) raus und da der Abstande zweier \(t_i\) jeweils \(=3,5\) ist, kann man die verbleibenden beiden Gleichungen gleich setzen, wodurch nur noch das \(b\) als Unbekannte übrig bleibt.

$$\frac{68,5 - b}{86 - b} = \frac{55,5 - b}{68,5 - b} \quad \Rightarrow b= \frac{323}{18}$$ Setze dies in eine der dividierten Gleichungen ein, daraus folgt dann \(k \approx 0,08493\) und \(a \approx 71,01\) stellt dann sicher kein Problem mehr da.

~plot~ 71.01*exp(-0.08493*x)+323/18;[[-1|11|-2|100]];{0.5|86};{4|68.5};{7.5|55,5} ~plot~

von 18 k

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