Determinante / starke Induktion beweisen

Question

Es sei A_(n)= 

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & … & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & … & 0\\ 0 & 4 & 1 & -1 & … & 0\\ ⁝ & ⁝ & ⁝ & ⋱ & ⋱ & ⁝\\ 0 & 0 & 0 & … & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & … & (n-1)^2 & 1 \end{pmatrix}$$ n= 1,2,3,...

Bestimmen Sie det(A₁) und det(A₂), finden Sie eine Formel für det(A_n) für n ≥ 3 als
Funktion von det(A_n-1) und det(A_n-2) und beweisen Sie durch starke Induktion, dass

det(An) = n! ,       n = 1, 2, 3, . . . .

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Determinante bestimmen ..

Stichworte: determinante

halloooo,

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. ich weiß nicht was zu tun ist.ich verstehe schon wie man normalerweise die Determinante berechnet aber wie ist es hier ???

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Wie habt ihr starke Induktion definiert?

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Besteht ein Unterschied zu folgender Frage

https://www.mathelounge.de/555356/determinante-starke-induktion-bewe…

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Ich sehe keinen Unterschied. Aber mit der Schliessung kommt ja das Bild der Frage mit, wenn die Fragen zusammengefügt werden. Dann sieht man, ob dort ein Druckfehler vorliegt.

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Es fehlt im Original der linke Teil der definierenden Gleichung.

A_(n) = ....

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EDIT: Habe

Es sei A_(n)=

in der Frage ergänzt. Vgl. https://www.mathelounge.de/555465/determinante-bestimmen#c555478

Wie habt ihr starke Induktion definiert?

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Wie habt ihr starke Induktion definiert?

Bei der vollständigen Induktion nimmt man an, dass A(n) gilt und schließt damit auf A(n+1).

Bei der starken Induktion nimmt man an, dass die Aussage für alle $i \in \lbrace n_0,...,n_k \rbrace$ in einer bestimmten Menge mit $n_0 < \dotsm < n_k \le n$ gilt und schließt damit auf A(n+1). Also wenn du bspw. Im Induktionschritt

$$A(0) \wedge \dotsm \wedge A(n) \implies A(n+1)$$

oder

$$A(n-1) \wedge A(n) \implies A(n+1)$$

etc. zeigst. Ob man dafür jetzt einen eigenen Namen verwenden möchte ist wohl  Geschmackssache.

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Vom Duplikat:

Titel: determinantenberechnung..

Stichworte: determinante

halloooo,

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. ich weiß nicht was zu tun ist.ich verstehe schon wie man normalerweise die Determinante berechnet aber wie ist es hier ???

Answer 1

Die Matrix $A_6$ sieht zum Beispiel so aus (inklusive ein paar Hilfslinien):

$$A_6 = \left( \begin{array}{cccc|c|c}1& -1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& -1& 0& 0& 0\\ 0& 4& 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 9& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 16& 1& -1\\ \hline 0& 0& 0& 0& 25& 1\end{array} \right)$$

Entwickle die Determinante nach der letzten Zeile. Dort steht nur die $25$ bzw. allgemein $(n-1)^2$ und die $1$. Dann ist $$\det(A_n) = -(n-1)^2 \cdot \det(X) + \det(A_{n-1})$$ Die Determinate von $X$ kann man nun aus der rechten Spalte dieser Matrix entwickeln. Da steht nur die $-1$. Demnach ist $$\det(X) = (-1) \cdot \det(A_{n-2})$$ Einsetzen in obige Gleichung gibt: $$\begin{aligned} \det(A_n) &= -(n-1)^2 \cdot (-1) \cdot \det(A_{n-2}) + \det(A_{n-1}) \\ &= \det(A_{n-1}) + (n-1)^2 \cdot \det(A_{n-2}) \end{aligned}$$

Der Induktionsanfang für zwei auf einander folgende Werte für $n$ ist schnell gezeigt: $$\det(A_1) = 1 = 1!; \quad \det(A_2) = \left| \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \right|= 2 = 2!$$ Einsetzen in die Gleichung für $\det(A_n)$

$$\begin{aligned} \det(A_n) &= \det(A_{n-1}) + (n-1)^2 \cdot \det(A_{n-2}) \\ &= (n-1)! + (n-1)^2 \cdot (n-2)! \\ &= \left( (n-1) + (n-1)^2)\right)(n-2)! \\ &= \left( 1 + (n-1)\right) (n-1)! \\ &= n!\end{aligned}$$ q.e.d.

Comments

Sehr schöne Antwort!