Potenzmengen und Teilmengen: Bijektive Abbildung zwischen den Mengen P(A) und Abb(A, {0,1}) konstruieren.

Question

Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge P(A) aller Teilmengen von A.

Konstruieren Sie eine bijektive Abbildung zwischen den Mengen P(A) und Abb(A, {0,1}), wobei Abb(A,B) die Menge aller Abbildungen von einer Menge A in eine Menge B zeichnet.
Wie muss ich vorgehen es ist meine erste Woche an der Uni und ich verstehe leider so überhaupt nichts =( würde mich über jede Hilfe freuen.  

Answer 1

du sollst von der Potenzmenge P(A) bijektiv in die Menge aller Abbildungen Abb(A, {0, 1}) abbilden.

Du sollst also eine Funktion \( \varphi : P(A) \rightarrow Abb(A, \{ 0, 1 \} ) \) finden.

Diese Zuordnung kann wie folgt geschehen:

Sei \( B \in P(A) \) eine Teilmenge von A. Wir erklären die Abbildung \( \alpha : A \rightarrow \{0, 1\} \), \( \alpha \in Abb(A, \{0, 1 \}) \) durch

\( \alpha(b) \equiv 0 \), falls \( b \not\in B \) und

\( \alpha(b) \equiv 1 \), falls \( b \in B \).

Das heißt \( \alpha \) sei die charakteristische Funktion der Teilmenge \( B \subset P(A) \) in \( P(A) \).

Damit ist eine bijektive Abbildung \( \varphi : P(A) \rightarrow Abb(A, \{0, 1\}) \) gegeben mit

\( \varphi: B \mapsto \alpha(B) \).

MfG

Mister

Comments

Wie würde ich  jetzt injektivität und surjektivität beweisen?

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Du musst zeigen, dass aus \( B_1 \neq B_2 \) die Aussage \( \alpha(B_1) \neq \alpha(B_2) \) folgt. Das ist die Injektivität. Die Surjektivität bedeutet, dass für jede Abbildung \( \alpha \in Abb(A, \{0, 1\}) \) auch ein \( B \in P(A) \) existiert, sodass \( \alpha = \alpha(B) \).