Konstante Funktion f mit einer Konstanten K

Question

Erstmal zur Aufgabe

$$\text{Sei I ein Intervall,}\ n\geq\text{2 eine natürliche Zahl }\text{und K > 0 eine Konstante.}\\\text{Für die Funktion f: I --> R gelte |f(x) -f(y)|}\leq\text{K|x-y|}^{n}.\\\text{Zeigen Sie, dass f konstant ist.}$$

Könnte mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen? Ich würde mich sehr freuen. Liebe Grüße,

Tza134

Answer 1

Ich unterstelle, dass $x,y \in I$. Dividiere die Gleichung durch $|x-y|$. Dann erhält man:

$$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} = \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \le K |x-y|^{n-1}$$

nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung ist der Term links identisch zur Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $z$, wobei $z$ zwischen $x$ und $y$ liegt.

$$\left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| = |f'(z)| \quad z \in [x,y]$$ Also $$|f'(z)| \le K |x-y|^{n-1} \quad z \in [x,y]$$ Da nun $n-1\ge 1$ und die Differenz $|x-y|$ beliebig klein werden darf, so kann der rechte Term zu 0 werden. Folglich ist die Ungleichung $\forall x,y \in I \cap n \ge 2$ nur genau dann immer erfüllt, wenn $$f'(z)= 0 \quad z \in I$$ Die Funktion ist also konstant.

Comments

Bitteschön :-)

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Ist denn die Funktion $f$ differenzierbar?