Wende- und Extrempunkte einer Funktion bei gegebener 2. Ableitung f´´(x)=-x+1

Question

Was lässte sich über Wende- und Extrempunkte des Graphen von f aussagen bei gegebener 2. Ableitung:

f´´(x)=-x+1.

Nun kann ich doch eigentlich die Stelle des Wendepunktes bestimmen(x=1, Übergang von Links- in Rechtskurve) Hinsichtlich der Extrempunkte ist zu sagen, dass zwei Extrempunkte vorliegen mit gleichem Abstand zum Wendepunkte, da die Ausgangsfunktion dritten Grades is. Kann aber auch der Fall eintreten, dass keine Extrempunkte vorliegen, was ja grundsätzlich auch möglich ist bei einer Funktion dritten Grades?

Answer 1

Kann aber auch der Fall eintreten, dass keine Extrempunkte vorliegen, was ja grundsätzlich auch möglich ist bei einer Funktion dritten Grades?

Ja wenn z.B.   f ' (x) = -0,5x^2 + x - 2 ist, dann hat die

Gleichung  f ' (x) = 0 keine Lösung, also hat f keine Extrema.

Comments

Vielen Dank, also hat die Funktion f maximal zwei Extremstellen? Aber es ist doch richtig, dass wenn Extremstellen auftreten, dass diese den gleichen Abstand zum Wendepunkt haben?

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Ja, siehe anderen Kommentar.

Answer 2

Wenn f´´(x)=-x+1, Dann f´(x)=-x²/2+x+c und Extrema für -x²/2+x+c=0 bzw. x²-2x-2c=0 mit x_1/2=1±√(1+2c).

Wenn Extremstellen auftreten, haben diese den gleichen Abstand zum Wendepunkt (1|f(1))

Answer 3

Was lässt sich über den Graphen von f aussagen bei gegebener 2. Ableitung: \(f''(x)=-x+1\)?

Der Graph von \(f\) besitzt mit \(x=1\) eine Wendestelle. Im weiteren unterscheiden wir zwei Fälle:

(1) Ist die erste Ableitung an dieser Stelle positiv, so gibt es zwei Extremstellen, sie liegen symmetrisch zu \(x=1\). Die linke muss eine Tiefstelle und die rechte eine Hochstelle sein. Die Funktion besitzt genau eine oder genau drei Nullstellen.

(2) Ist die erste Ableitung dagegen nicht positiv an \(x=1\), so ist \(f\) streng monoton fallend und es gibt keine Extremstellen. Verschwindet die erste Ableitung an der Stelle \(x=1\), dann ist \(x=1\) eine Sattelstelle. Die Funktion besitzt genau eine Nullstelle.

Answer 4

Was lässte sich über Wende- und Extrempunkte
des Graphen von f aussagen bei gegebener
2. Ableitung: f´´(x)=-x+1.
Wendepunkt :
- x + 1 = 0
x = 1

f ´( x ) = - 1/2 * x^2 + x + C
Stellen mit waagerechter Tangente
- 1/2 * x^2 + x + C = 0 | * -2
x^2 - 2x - 2C = 0
x^2 - 2x + 1 = 1 + 2C
( x - 1 ) ^2 = 1 + 2C
x - 1 = ±√ ( 1 + 2C )
x = ±√ ( 1 + 2C ) + 1

Fälle
1 + 2C > 0
C > -1/2
z.B C = 2 : 2 Extrempunkte
x = + √ ( 1 + 2C ) + 1
und
x = - √ ( 1 + 2C ) + 1

1 + 2C = 0
C = -1/2 : bei x = 1
Wendepunkt und Steigung Null = Sattelpunkt

1 + 2C < 0 :
C < -1/2
Keine Lösung; keine Stelle mit waagerechter
Tangente

blau C = 2
rot C = -1/2
grün C = -3

Answer 5

  Du weißt nur noch gar nichts von deinem Glück. Diesen ganzen Mumpitz brauchst du nie. Stell dir vor, das kubistische Polynom ist dir in Normalform gegeben ( darum handelt es sich ja offenbar. )

    f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0      (  1  )

    Dann kannst du den  WP schon direkt ablesen:

     x_w  =  -  1/3  a2      (  2  )